エレベーターによる昇降と高さ

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本サイト、「数的処理の穴場」を運営しておりますモクセイと申します。

インプット（計画）よりもアウトプット（行動）が大事だ、とはよく言われますが、これは公務員試験の勉強にも当てはまる考え方だと思うんです。
参考書を一冊仕上げたら、すぐに過去問を見たほうがいいと思います。
過去問を見てみると、意外と出題分野に偏りがあるので、力の入れどころが分かってきます。
あなたが今、参考書で苦労している分野も、実は出題率が低くてあまり対策が必要ないところかもしれません。
過去問は早めに見ておくことをおすすめします。

前回は、新幹線の座席の位置関係を確定させる問題をやりましたね。
国家総合職で頻出の、位置関係をテーマにした問題なので、解いてない方はぜひ挑戦してみてください。
すでに解いた方は、大まかにでいいので解法の手順を脳内で再現してみましょう。
思い出せない方は、早めに解説を見返しておくことをおすすめします。
思い出すたびに、記憶が強固になっていきます。
そうした記憶の積み重ねが、数的処理の得点アップにつながるので、問題を解いたら復習も忘れずに行いましょう！
復習がバッチリな方は、本日の問題へ参ります。

本日の演習問題

ビルの昇降と高さの問題です。
分かっていることの項目でビルivが頻繁に登場するので、ビルivを主軸に考えるのがよさそうですね。
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。

それではスタート！

詳しい解説

分かっていることの3つ目、「ビルivの高さはビルiiiの高さの2倍」より、ビルiiiの高さを\(h\)とすれば、ビルivの高さは\(2h\)と表せます。

すると、分かっていることの4つ目、「ビルivにおいて地上からエレベーターで上昇すると、地上からビルivの高さの(\frac{1}{3})の地点を通過するときに、ビルiの屋上が見え始めた」より、ビルivにおける高さ\(\frac{2}{3}h\)の地点とビルiの屋上を結んだ一直線上には、ビルiiおよびビルiiiの屋上が並ぶことになります。

言語化すると分かりづらいですが、図で表すと次のようになります。
百聞は一見にしかずですね。

この図のように\(h_1, h_2, h_3\)を設定すると、まず\(h_1=\frac{h}{3}\)です。
次に\(h_2\)について、ビルが等間隔に建っていることと三角形の相似より、\(h_1:h_2=1:2\)
これより、\(h_2=\frac{2}{3}h\)
同様に、\(h_1:h_3=1:3\)より、\(h_3=h\)

以上から、ビルi〜ivの高さを\(h\)で表すと次のようになります。

	i	ii	iii	iv
高さ	\(\frac{5}{3}h\)	\(\frac{4}{3}h\)	\(h\)	\(2h\)

次に、分かっていることの5つ目「ビルivの屋上からビルiを見ると、地上から高さ6の階層まで見える」を使いましょう。
図で表すと次のようになります。

先ほどの表によると、\(h_4=\frac{4}{3}h-6\)、\(h_5=2h-6\)
また、三角形の相似より、\(h_4:h_5=1:3\)なので、\(h=6\)と求められます。

これにより、各ビルの高さが具体的な数値として次のように決まります。

	i	ii	iii	iv
高さ	10	8	6	12

これをもとに、AとBが同じ高さを通過する瞬間について考察します。

まず、AとBの高さが最初に一致するのはいつでしょう？
Aは屋上から、Bは1階から互いに逆向きに進むことを考えると、2人の高さが一致するのは、2人の昇った(降りた)距離の合計がビルiの高さに等しいときですね。
AとBの進む速さは、比例定数\(k\)を用いると、それぞれ\(9k\)、\(4k\)と表せます。
さらに、最初に同じ高さを通過するまでの時間を\(t_1\)とすると、

\[
9kt_1+4kt_1=10　∴kt_1=\frac{10}{13}
\]

このとき、Bの高さは\(4kt_1=\frac{40}{13}<4\)
よって、この瞬間にBからはビルiが全く見えない状態で、当然Aの姿も見えません。

ここから次にAとBが同じ高さを通過する場合は、もっと簡単に考えることができます。
AとBの進む速さが9：4であることより、例えばBが4だけ上昇したとき、Aは屋上から9だけ下降した位置にいます（\(t_1\)の少しあと）。

同様に、Bが8だけ上昇したときは、Aの移動量は18で、Aはビルiの1階で折り返して8だけ上昇することになります。

このとき、AとBは初めて同じ高さにいる互いの姿を見ることになります。
ビルiの高さは10なので、このときのAの位置はビルiの高さの\(\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)倍ですね。

したがって、４が正解です。

おわりに

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

平面図形に速さの要素が混ざったような問題でした。
前半は、相似の関係を利用してビルの高さを求めていくことになります。
始めにビルiiiの高さを\(3h\)とおけば、分数が出てこなくなるのでちょっと楽かもしれません。
ただ、初見でそこまで見越して文字を導入できる人は少ないだろうと思ったので、解説では単純に\(h\)とおいて進めました。
市販の問題集では、そうやって分数が出ないように文字を設定しているのをよく見かけますが、正直そんなに要領良く立ち回れる人なんてそうはいないと思います。
少なくとも私はできませんでした。
多少泥臭くなったとしても、正解にたどり着ければOKなので、解説はあくまで参考程度に見ておきましょう。
後半は速さの考え方を応用し、AとBが同じ高さになるときのAの位置を求めます。
「出会う」や「追いつく」といった出来事を数式にするとどうなるのか、きちんと整理して頭に入れておきましょう。
平面図形と速さは、どちらも国家総合職では出題されやすいテーマになっています。
今回のように複合的な問題の場合でも、基本にある考え方は同じなので、簡単な問題もおろそかにせず、道具として使いこなせるまで練習しましょう。
本サイトで過去に紹介した速さの問題も参考になると思うので、まだの方は挑戦してみてください↓

• 道幅の狭い陸上トラックの周回

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略解