【国家一般職】数的処理で初見の問題が解けない?勉強のコツを教えます【彗星の周期性】

【国家一般職】数的処理で初見の問題が解けない?勉強のコツを教えます【彗星の周期性】 場合の数・確率
【国家一般職】数的処理で初見の問題が解けない?勉強のコツを教えます【彗星の周期性】

こんにちは!
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。

ここって何?
【1】オリジナルの演習問題
【2】どこよりも詳しい解説
【3】誰でもすぐに使える「解法のポイント」
を扱う、ありそうでなかった数的処理の学習サイトです。

公務員試験を受ける方は必見!
ぜひ最後まで読んでいってください。

モクセイ
モクセイ

「解法のポイント」はないこともある、かもしれない

今回のテーマは……「??」

箸休め的なゆるい回です。
よって、今回は「解法のポイント」はありません。

…というのはウソ。

モクセイ
モクセイ

ウソなんかい

解法のポイント
初見の問題に強くなる勉強法:
既知の解き方と結びつけて理解する

解法、というよりは勉強のコツです。
ぜひ普段の学習に活かしてください。

演習問題:彗星の周期性

彗星の中には、楕円形の公転軌道を持ち、特定の周期で観測されるものがある。彗星の周期をXとしたとき、[X]=15なる彗星(\(C_{15}\)とする)、および[X]=19なる彗星(\(C_{19}\)とする)はそれぞれ9種類、4種類存在することが分かっている。これらの彗星は必ず一定の周期で現れ、かつ同年内に消滅するものとする。また、1年のうちに現れる彗星は、\(C_{15}\)および\(C_{19}\)でそれぞれ1種類ずつのみであるとする。すなわち、同じ年に2種類以上の\(C_{15}\)(または\(C_{19}\))が現れることはないが、\(C_{15}\)および\(C_{19}\)が1種類ずつ現れることはあり得る。

いま、2024年以降に初めて\(C_{15}\)および\(C_{19}\)が現れる年は次の通りであるとする。

\(C_{15}\):2024年、2027年、2028年、2032年〜2037年の各年

\(C_{19}\):2027年、2030年、2031年、2033年

2024年〜2323年の300年間に、\(C_{19}\)のみが現れる年はいくつあるかを次のように考えたとき、空欄に当てはまるものの組み合わせとして正しいのはどれか。

「\(C_{19}\)は各種それぞれ19年に1回ずつ現れるから、2024年〜2323年の300年間に\(C_{19}\)のいずれかが現れる年は『 A 』回ある。一方、\(C_{15}\)のある種類と\(C_{19}\)のある種類がともに現れる年は種類ごとに285(=15×19)年に1回であるから、2024年〜2323年の間に\(C_{15}\)と\(C_{19}\)がともに現れる年は全部で『 B 』回ある。よって、\(C_{19}\)のみが現れる年は『 C 』回である。」

※[X]は、Xを超えない最大の整数を表す。
 例:[15.8]=15

  A B C
1. 60 36 24
2. 60 38 22
3. 64 38 22
4. 64 38 18
5. 64 40 18

彗星の周期性をテーマにした問題。
空欄を一つずつ埋めていきます。

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

モクセイ
モクセイ

おそすぎる自己紹介

それでは、解説スタート!

解説:割り算で数えて共通部分を引く

問題文の空欄を一つずつ埋めていきます。

「\(C_{19}\)から『\(C_{15}\)かつ\(C_{19}\)』を引くことで、\(C_{19}\)のみの年を数える」

というのが全体の流れです。

モクセイ
モクセイ

ベン図にするとこんな感じ↓

共通部分を引くと「C_19のみ」が残る
共通部分を引くと「C_19のみ」が残る

A:19年周期の回数×種類

\(C_{19}\)は19年周期で現れるので、300年の中に19年のカタマリがいくつ入るかを数えます。
つまり、割り算です。

300÷19=15…15

これより、\(C_{19}\)は種類ごとに15回現れます。
\(C_{19}\)は4種類あるので、いずれかが現れる年は

15×4=60より、300年間に60回
…とするのは【誤り】です。

結論から言うと、正しくは
(15+1)×4=64(回)……A

次の図を見てください。

C19が現れる回数は商+1
C19が現れる回数は商+1

この図では、\(C_19\)が現れる年を、次のように整数\(n\)を使って表しています。

\[
2027+19n \\
2030+19n \\
2031+19n \\
2033+19n
\]

余りの扱いがミソ。
実は、300÷19の商「15(回)」にはこの「余り」がカウントされていません

なので、\(C_{19}\)が現れる回数は、余りの1ブロックを追加した16回(1種類あたり)となります。
これは4種類全てに当てはまるので、(15+1)を4倍して64回です。

小学校で習う「ベンチの問題」を思い出してください。

モクセイ
モクセイ

「10人がけのベンチに32人が座るとき、ベンチはいくつ必要か?」ってやつね

この場合、3脚(=32÷10の商)だと2人が座れません。
あぶれた2人のためのベンチが必要なので、(3+1)脚が答えになりますね。

本問も、考え方はこれと同じ。

前に見た簡単な問題に結びつけて理解する、というのをやってくと、初見の問題に対処する力が付いてきます
どこかの記事でも触れましたが、めっちゃ大事なことなので「解法のポイント」としておきます。

解法のポイント
初見の問題に強くなる勉強法:
既知の解き方と結びつけて理解する

B:300年→(15+285)年と考える

次に、

“\(C_{15}\)のある種類と\(C_{19}\)のある種類がともに現れる年は種類ごとに285(=15×19)年に1回”

について。

これは、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)のある一組が285年周期で現れることを述べてます。
もう少し詳しくいうと、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)の特定の組み合わせが同時に現れるのは、285年のうちに1回のみである、ということです。

このことを利用し、2024年〜2323年の300年間を次のような2区間に分割して考えます。

(i)2024年〜2038年
(ii)2039年〜2323年

(15+285)年という分け方がミソ。

285年の区間では、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)のペアは1回ずつしか現れない(=285年周期)ため、組み合わせのパターン数がそのまま回数となります。
こうすると、組み合わせの考え方で機械的にカウントできるわけです。

モクセイ
モクセイ

(i)の15年間は直接数えればいい

(i)2024年〜2038年:直接数える

「2024年以降に初めて〜」の箇所を見ればOK。

\(C_{15}\):2024年、2027年、2028年、2032年〜2037年の各年
\(C_{19}\):2027年、2030年、2031年、2033年

これによると、この区間で\(C_{15}\)と\(C_{19}\)が同時に現れる年は2回。

モクセイ
モクセイ

2027年と2033年ね

(ii)2039年〜2323年:組み合わせを数える

すでに述べた通り、この区間では\(C_{15}\)と\(C_{19}\)の組み合わせの数を数えればOK。
それぞれ9種類、4種類あるので、9×4=36回

2024年〜2323年では、2+36=38(回)……B

C:全体から共通部分を引く

冒頭で述べた通り、\(C_{19}\)全体から「\(C_{15}\)と\(C_{19}\)の年」を引きます

つまり、AーB=60ー38=22(回)……C

以上より、3が正解です。

おわりに:過去に見た解き方と関連付ける

お疲れ様でした!

問題演習で解説を読むときは、

「過去に見た解き方と関連付けられないか?」

という点に注意を向けてみてください。

偉そうに言ってるけど、途中で思いついて後付けしただけです。

モクセイ
モクセイ

正直でよろしい

今回は彗星が現れる回数を、誘導にしたがって数える問題でした。
集合論的な考え方をベースに、個々の空欄は周期性に基づいて考える必要があります。
誘導にしたがえばOK。

問題文が近年まれに見るほど長ったらしいのは仕様です。

モクセイ
モクセイ

これでも元ネタよりは少ないのよ

最後に一言

悲しいときー懇親会で持ち帰ったビンゴの紙を家で捨てるときー

モクセイ
モクセイ

昨日会社の懇親会がありました

最後までお読みいただきありがとうございました。

本サイトでは、今後もこうした演習用の問題をアップしていく予定なので、ブックマークなどして気軽に訪れてもらえたらうれしいです。
また、運営のやる気UPと記事のクオリティアップにつながりますので、ご意見やご感想などありましたら、お気軽にコメントにてお知らせください!

この記事が参考になったら、ぜひシェアしてください!

次回もお楽しみに!

略解

C19が現れる回数は商+1

C19が現れる回数は商+1

図では、\(C_19\)が現れる年を、次のように整数\(n\)を使って表している。

\[
2027+19n \\
2030+19n \\
2031+19n \\
2033+19n
\]

図のように、\(C_{19}\)は種類ごとに15+1回現れる。
\(C_{19}\)は4種類あるから、いずれかが現れる年は
(15+1)×4=64(回)……A

次に、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)の特定の組み合わせが同時に現れるのは、285年のうちに1回のみである。
よって、2039年〜2323年の285年間に\(C_{15}\)と\(C_{19}\)が同時に現れる回数は、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)のペアの総数に等しく、9種類×4種類=36回
さらに、2024年〜2038年では\(C_{15}\)と\(C_{19}\)が同時に現れる年は2027年と2033年の2回ある。
よって、2024年〜2323年では、2+36=38(回)……B

\(C_{19}\)のみの年の回数は、\(C_{19}\)から「\(C_{15}\)かつ\(C_{19}\)」を引けばよい。
つまり、AーB=60ー38=22(回)……C

よって、3が正解である。

コメント

  1. 万打無 より:

    Aの値を考える場合は 300÷15=15…15 ←の余り(15)の部分に注意する必要があります。

    2027年のC19が現れる年は 2027+19n (nは0以上の整数)と表記でき
    nに15を入れると 2027+19×15=2312 となり 2024年~2323年までに16回現れます
    2033のC19も 2033+19×15=2318 となり16回現れます
    よってAの値は 4×15+4=64になります

    要するに余りの15年間の間にもう一回現れる事があると言うことです
    2024年~2038年までに現れるC19が余りの年数の間にもう一回現れます

  2. 万打無 より:

    上の

    「Aの値を考える場合は 300÷15=15…15」 は

    「Aの値を考える場合は 300÷19=15…15」 の間違いです

    • モクセイ より:

      今回もご指摘ありがとうございます!
      余りの扱いは盲点でした。
      昔習った「ベンチの問題」と同じですね。

      おかげさまで中身のある記事ができました。
      大変勉強になり、感謝いたします。

タイトルとURLをコピーしました