【国家総合職】確率はこの５つの解き方だけで攻略できます【トーナメントの決勝戦に勝ち残る確率】

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本サイト、「数的処理の穴場」を運営しておりますモクセイと申します。

「確率・場合の数」といえば、頻出なのにもかかわらず苦手意識を持つ方も少なくない、数的処理の鬼門です。
事象のカウントに分数の約分……
少しのミスが誤答につながります。

正答を導き出すには、樹形図や和の法則、積の法則といった道具から適切な解法を選び出す必要があります。
苦手な方には、そもそも適切な解き方を選ぶことも難しいかもしれません。

今回は、「確率・場合の数」で頻出の解法のパターンを紹介します。
後半は過去問の類題を一緒に解いて理解してもらい、本番で使える解き方を身につけていってもらいます！

講義：確率（＆場合の数）の解き方５パターン

確率（と場合の数）の問題は、次の５通りの解法を頭に入れておけばOKです。

これらの方法は、いずれか一つで解ける場合もありますが、複雑な問題だといくつか組み合わせて解くことになります。

事象をカウントし定義から求めるやり方

【１】樹形図や書き出しによる数え上げ

条件に合う事象をひたすら列挙して数え上げる、ちょっと力技な解法です。
両手で数えられる程度のパターン数を扱うケースや、途中で分岐を生じるような場合に有効です。
順番を気にするなら樹形図、順番ではなくグループ（組み合わせ）が問題なら書き出しを使うと解ける傾向があります。

（問）

（答）

【確率】問題２ | 公務員試験数的処理解法テクニック KOMARO

上の例題では、最も長い辺が４〜６のいずれかに限られることに着目し、全パターンを数え上げてます。

順番ではなく「組」が重要なことから、書き出しによる方法が有効です。
（{6,5,4}も{6,4,5}も{5,6,4}も同じ）
樹形図を書いて考えてもOKです。

【２】組み合わせや順列を使った計算

組み合わせや順列を使って機械的にカウントする方法もあります。
扱う事象が多すぎる場合に有効です。
書き出しても書き出してもキリがないときは、このやり方を検討してみてください。

ちなみに、確率の分母はほぼほぼこの方法で求めることになります。

（問）

（答）

【確率】問題１ | 公務員試験数的処理解法テクニック KOMARO

上の例題では、余事象を経由して確率を求めてます。
１７本のはずれくじ（a,b,c,d,e,…）から２本を取り出すときの取り出し方は、
(a,b)、(b,c)、(b,e)、(c,e)、……
と、ちょっと考えただけでもたくさん出てきます。

こういうケースは、（答）にもあるように、組み合わせの考え方を活用するのが正解です。

確率から確率を求めるやり方

以下の解き方は、既知の確率から別の事象の確率を求めるときに有効です。

【３】排反事象の足し算（和の法則）

２つの事象AとBが同時に起こらない（＝排反事象である）場合、「AまたはB」の確率はAの確率とBの確率の足し算で求められます。
……というのが、和の法則です。
実戦的には、排反なケース（AとB）に場合分けしたあと、それらを足し合わせて「AまたはB」の確率を求める、という使い方をします。

【４】独立事象の掛け算（積の法則）

２つの事象AとBがあって、これらが互いに影響し合わずに起こる（＝独立事象である）とき、「AかつB」の確率はAの確率とBの確率の掛け算で求められます。
……これが、積の法則です。
実戦的には、AかつBの確率を直接求めるのが難しいときに、「Aの確率」と「Bの確率」を別々に求めて掛け合わせる、という使い方をします。

【５】全体から引く（余事象の確率）

Aが起こる確率は、「全事象の確率（＝１）」から「Aが起こらない確率」を引くことでも求められます。
「少なくとも〜」という表現を見たら、このやり方です。

（問）

ある高速道路にはA、B、Cのインターチェンジがこの順に並んでおり、
AB間とBC間を通るときに渋滞に遭う確率はそれぞれ0.3と0.2である。A～
Cまで高速道路を走行するとき、AB間とBC間の少なくとも一方で渋滞に遭
う確率はいくらか。
1. 0.34
2. 0.39
3. 0.44
4. 0.49
5. 0.54

（答）

「１－渋滞に遭わない確率」で考えればよい。
よって「1 － (0.7×0.8)＝0.44」となる。

公務員試験過去問 数的推理 確率 | 問題野郎

上の例題は、和の法則と余事象、両方を使って解いてます。
「少なくとも一方で〜」という表現があるので、余事象の確率（＝ABとBCでいずれも渋滞に遭わない確率）が有効です。
さらに、「ABで渋滞に遭わない」という事象と、「BCで渋滞に遭わない」という事象は互いに影響し合わない（＝独立事象）ので、余事象の確率は「ABで渋滞に遭わない確率」と「BCで渋滞に遭わない確率」の積となります。

演習問題：トーナメントの決勝戦に勝ち残る確率

トーナメント戦で特定のチームが決勝まで勝ち残る確率を求める問題です。
確率といえば場合分けですが、問題はどう分けるか、ですね。
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説

円順列のように、Aを固定して考えます。
その上でBが何番なのかで場合分けします。
Aの配置で場合分けしてから、さらにBが何番なのかの場合分けをする、ということです。

本問では、\(\frac{1}{2}\)とか\(\frac{2}{3}\)とか、勝敗の確率がすでに与えられています。
上で紹介した「解法のポイント」でいう、「確率から確率を求めるやり方」のパターンです。
和の法則や積の法則、余事象を場面に応じて使い分けて解きます。

「一」〜「三」と「四」〜「六」の対称性より、Aを「一」〜「三」のいずれかに固定した場合を考えれば十分です。
ただし、Aから見たBの配置は対称とならないので、Aを固定したあとのBの配置は５箇所全ての場合分けが必要です。

以下、Aの配置を固定した上でBが何番かによって場合分けする、という流れで考えます。

(i)Aが「一」の場合：和の法則と積の法則を使い分ける

くじ引きの結果、Aが「一」になる確率は\(\frac{1}{6}\)です。

以上より、(i)の場合に題意を満たす確率は、
\(\frac{1}{6}×(\frac{1}{15}+\frac{1}{6}+\frac{11}{90}+\frac{13}{18})=\frac{97}{540}\)

(ii)Aが「二」の場合

この場合は(i)と同じなので、題意を満たす確率は\(\frac{97}{540}\)です。

(iii)Aが「三」の場合：余事象にも注目

まず、Aが「三」になる確率は\(\frac{1}{6}\)です。

(iii)の場合に題意を満たす確率は、
\(\frac{1}{6}×(\frac{5}{6}+\frac{13}{45}+\frac{8}{45})=\frac{13}{60}\)

(i)〜(iii)より、\(\frac{97}{540}+\frac{97}{540}+\frac{13}{60}=\frac{311}{540}\)

よって、１が正解です。

おわりに：確率は和の法則と積の法則、余事象を使い分けて

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

確率（＆場合の数）を解くための道具は５つ。
数え上げ、順列＆組み合わせ、和の法則、積の法則、余事象の使い分けが重要です。

場合分けの先で場合分けが必要になる、確率の問題でした。
場合分けの入れ子構造を念頭に置きつつ、自分がいまどのケースを扱っているのか、迷わないように進めましょう。
数え忘れや同じものを重複して数えたりしないように注意です。

国家総合職の数的処理において、確率はかなり重要度の高い分野です。
場合の数と併せて、ほぼ毎年のように出題があります。
確率や場合の数で必須の「場合分け」は、判断推理にも必要な考え方なので、確実に習得しておきたいところ。
苦手であれば易しい問題から徐々にステップアップしましょう。
とにかく、あり得るケースをもれなく検討することが肝要です。

最後までお読みいただきありがとうございました！

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