【国家一般職】数的処理の確率ですぐに使える解法５つ【特定の一人がトーナメントで優勝する確率】

こんにちは。初めましての方は初めまして。ご覧いただきありがとうございます！
本サイト、「数的処理の穴場」を運営しておりますモクセイと申します。

今回のテーマは「確率」です。
確率（＆場合の数）の解き方は、以前紹介しました。
数的処理の対策をしたい方は必見です。

演習問題：特定の一人がトーナメントで優勝する確率

トーナメント戦の確率の問題です。
参加者の配置がランダムなのがややこしい。
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下の略解を読んでね。

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：場合分けして確率の定義を使う

確率問題の「解法のポイント」をおさらい。

「定義」か？「確率から確率」か？

まず考えることは、「定義を使うか？」「確率から確率を求めるか？」です。

本問は各試行について具体的な確率が与えられているわけではないので、定義を使うしかありません。

加えて、本問は５人いる参加者の配置が決まっていません。
配置のパターンだけでも５！＝１２０通りあり、そこから各５試合で「勝ち」「負け」「あいこ」の分岐があります。

……さすがに数え上げられる気がしませんね。

そこで、本問は【２】の「組み合わせや順列による計算」で解いてみます。

確率の分母：全事象は何通り？

まず、トーナメントの配置は５！＝１２０通り。

配置を一つに決めてしまうと、全５回の試合で「勝ち」「負け」「あいこ」の３通りのパターンがあります。
よって、試合の結果は全部で\(3^5=243\)通り

これより、全事象は１２０×２４３通りとなります。

全事象数が分かったら、次は「全５回のじゃんけんの結果、Aが優勝する」パターンを数え上げます。

Aの配置で場合分け

本問は「Aが優勝する確率」を問うています。
なので、ここからはAの配置を決めないことには先に進めません。

注意すべきなのは、５つある配置は等価ではない、ということです。
具体的には、「一」または「二」、「三」、「四」または「五」で状況が異なります。

そこで、以下ではAの配置が(i)「一」または「二」、(ii)「三」、(iii)「四」または「五」のときで場合分けして検討します。

(i)Aが「一」または「二」のときの場合の数

Aの配置を「一」（または「二」）に固定したとき、残りの参加者の配置パターンは４！通り。

説明の都合上、配置を次のように仮定します。

勝敗については、簡単のため、あいこが一度もなかった場合から考えます。

トーナメント表の左半分は、２試合ともAが勝つので１通り。
右半分はDが勝つケースとEが勝つケースの２通り。
決勝戦はAが勝つので、Aが優勝する場合の対戦パターンは１×２＝２通りです。

次に、あいこがある場合を考えます。
１回だけあいこになる場合、どの試合であいこになるかが４通りあります。

よって、あいこがある場合にAが優勝する場合の数は、２×４＝８通り。

以上より、(i)の場合の数は、全部で８×４！通り。

(ii)Aが「三」のときの場合の数

Aの配置を「三」に固定したとき、残りの参加者の配置パターンは４！通り。
以下、次のような配置を仮定して進めます。

勝敗について、同じくあいこが一度もない状況から考えます。

トーナメント表の左半分では、第２回戦に上がってくるのがBなのかCなのかで２通りあります。
また右半分では、決勝戦に上がってくるのがDなのかEなのかで２通り。
よって、Aが優勝する場合の対戦パターンは２×２＝４通りです。

あいこがある場合、どの試合であいこになるかが４通りあります。
よって、Aが優勝するケースは４×４＝１６通りです。

以上より、(ii)の場合の数は１６×４！通りとなります。

(iii)Aが「四」または「五」のときの場合の数

Aの配置を「四」（または「五」）に固定したとき、残りの参加者の配置パターンは４！通り。
次のように配置を仮定します。

やはり、あいこが一度もない状況から考えます。

トーナメント表の左半分は、誰が勝ち上がってもOKです。
勝者のパターンは以下の４通り。

第１試合	第２試合
B	B
B	D
C	C
C	D

右半分は、Aが勝つので１通りです。
よって、対戦パターンは１×４＝４通り。

どの試合であいこになるかが４通りなので、Aが優勝するケースは４×４＝１６通り。

以上より、(iii)の場合の数は１６×４！通り。

(i)、(ii)、(iii)は同時に起こらない（＝互いに排反）ので、確率は

\[
\frac{8×4!×2+16×4!+16×4!×2}{5!×243}=\frac{64}{1215}
\]

よって、４が正解です。

おわりに：確率の解法５つを使いこなす

お疲れ様でした！

確率で大切なのは、適切な解法を選ぶこと。
基本は「解法のポイント」にある５つで、このうちのいずれか一つ、あるいは複数を使って解きます。

今回は、トーナメントで特定の人が優勝する確率を求める問題でした。
全事象と「Aが優勝する事象」の場合の数を別々にカウントし、定義を使います。
対称性を利用して手際よく場合分けするのがポイント。

同じく確率を扱った問題をもう一つ。

最後までお読みいただきありがとうございました。

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