カラオケ大会の賞金の山分け

こんにちは。初めましての方は初めまして。ご覧いただきありがとうございます！
本サイト、「数的処理の穴場」を運営しておりますモクセイと申します。

前回は、製品の故障率と海外/国内製の割合に関する問題でした。
ウォーミングアップに丁度いい難易度な問題です。
ぜひ解いてみてください。

もう解いた方は、お疲れ様でした。
復習の重要性は言うに及ばずですが、やり方も大切です。
本サイトでは、特に「解法の一般化」をオススメしています。
解法を学ぶときは、ぜひ
「他の問題に活用できそうな考え方はないかな？」
と積極的に探してみてください。
過去問と全く同じ問題が試験で出ることはほぼないので、目の前の解法を丸暗記してもあまり意味がありません。
あくまでも「似た」問題に対応できるように対策することが必要です。
本サイトにある「解法のポイント」みたいな感じに、自分なりに解法を一般化して頭に入れるようにしましょう！

復習がバッチリな方は、本日の問題へ参りましょう！

本日の演習問題

賞金の山分け問題です。
総額が\(N\)と与えられているので、問題文の内容を定式化してみましょう。
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。

それではスタート！

問題文を見る

詳しい解説

数的処理の第一手として、条件を図表にするか、数式化するかを考えてみるのは有効です。

本問では、総額が文字（＝\(N\)万円）で与えられていることをヒントに、
「条件を数式化してみよう」
と発想できるとGoodです。

A〜Eの金額をそれぞれ\(A\)〜\(E\)のようにおいて、条件を数式化したものが次表です。

\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)	\(E\)	\(N\)
\(\frac{1}{4}N\)	\(\frac{1}{5}(N-A)\)	\(\frac{1}{4}(A+B)\)	\(C+20\)	\(20\)	\(A+B+C+D+20\)

未知数が5つ（\(A\)〜\(D\)と\(N\)）に対し、方程式は5つ。
ということは、方程式を連立させれば解を得ることができますね。

ほしいのはDの金額なので、それ以外の\(A\)〜\(C\)および\(N\)を\(D\)を使って表していきましょう。

まずDの式より\(C\)を求めると、

\[
D=C+20 \rightarrow C=D-20
\]

この結果を使うと、\(N\)を\(D\)で表せます。
\(C=\frac{1}{4}(A+B)\)に\(N\)の式を使って、\(A\)と\(B\)を消去しましょう。

\begin{eqnarray}
C &=& \frac{1}{4}(A+B)=\frac{1}{4}(N-C-D-20) \\
\rightarrow N &=& 5C+D+20=5(D-20)+D+20 \\
&=& 6D-80
\end{eqnarray}

これとAの式より、\(A\)を\(D\)で表せます。

\begin{eqnarray}
A &=& \frac{1}{4}N \\
&=& \frac{3}{2}D-20
\end{eqnarray}

これとBの式より、

\begin{eqnarray}
B &=& \frac{1}{5}(N-A)=\frac{1}{5}{(6D-80)-(\frac{3}{2}D-20)} \\
&=& \frac{9}{10}D-12
\end{eqnarray}

以上を\(N\)の式に代入すれば、\(D\)が求められます。

\begin{eqnarray}
N &=& A+B+C+D+20 \\
&=& \frac{22}{5}D-32=6D-80 \\
∴D &=& 30(万円)
\end{eqnarray}

よって、４が正解です。

おわりに

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

カラオケ大会の賞金を山分けする問題でした。
条件を数式化する発想ができれば、あとは迷うことなく解けるでしょう。
途中、分数の計算がありますが、計算ミスには注意です。
前回に続き、国家総合職にしてはやや平易なレベルの出題です。
受験される方は、こういう問題を取りこぼさないように練習しましょう。
冒頭で「解法の一般化」を勧めてますが、計算でミスしがちな方は、ぜひ手を動かして解き直す作業も取り入れてみてください。
計算の数をこなすことが、計算ミスを減らすことにつながります。

最後までお読みいただきありがとうございました！

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