【国家総合職】もう悩まない！面積の求め方はこの2パターンでOK【三角形の内分点と面積比】

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数的処理で図形分野からの出題が全くない年はありません。
とりわけ、数的処理で合格点を狙うなら、面積の問題の対策は必須といえます。
なぜなら……

• 図形分野で面積を扱った問題はかなり多い
• 計算が比較的単純でミスによる失点が少ない

そんな面積の問題に、典型的な解法のパターンがあるとしたら、とてもありがたいしぜひ知りたいですよね。
この記事では、公務員試験の数的処理で頻出の面積を求める問題について、まずはじめに２つの解法パターンを紹介します。
それから過去問の類題を一緒に解いて理解していただくことで、本番で使える解法を身につけていってもらいます！

講義：面積の求め方２パターン

面積の求め方は、次の２パターンを知っておけばOKです。

【１】大きさが分かっている図形との相似比から求める方法

面積比は相似比と等価なので、実質的に相似比を求める方法になります。

図形を分割したり、角の二等分線を引く、などして比を求めます。
「〜の面積（or 辺の長さ）を１とすると…」とか「何倍か？」という表現があったら、このやり方で解決できる可能性があります。

（例題）
AD:DB=AE:EC=1:1, DF:FC=EF:FB=1:2である。
①面積比△DFE:△DFBを求めよ。
② 面積比△ADE:△DBEを求めよ。
③面積比△DFE:△ABCを求めよ。

（答）
①　EF:FB=1:2なので
　　△DFE:△DFB=1:2
②　AD:DB=1:1なので
　　△ADE:△DBE=1:1
③　△DEF=1とすると△DFB=2、
　　△DBE=3なるので△ADE=3
　　△ABE=6になるので△CBE=6
　　すると△ABC=12
　　よって△DFE:△ABC=1:12

面積比 – 中学校数学・学習サイト

【２】具体的に長さを求めて面積公式に当てはめる方法

必要な材料をそろえて公式に当てはめる方法です。
求めたい図形が特徴的な形（直角三角形とか台形とか平行四辺形とか）をしていたら、こちらの方法を検討してみてください。

この方法では、図形の辺の長さを具体的に求めるのが目標となります。
直角三角形があれば、三平方の定理や辺の比が使えます。

（例題）

左の図で、ＡＢは円の直径、ＰＡは円の接線、点Ｃ はＰＢと円との交点です。ＡＢ＝４ｃｍ、ＰＡ＝１２ｃｍ であるとき、次の値を答えてください。
（１） ＣＡの長さ
（２） △ＡＣ Ｂの面積　　（日本大豊山女子高）

（答）

（１）接線と直径の接点において、∠ＰＡＢ＝９０°
　１８０°の円周角は、∠ＡＣ Ｂ＝９０°
　三平方の定理から、ＰＢを求める。
　相似な直角三角形の辺の比から高さを求める。
　ＰＢ＝\(\sqrt{（{12}^2＋{4}^2）}\)＝\(4\sqrt{10}\)
　△ＢＰＡ∽△ＢＡＣ　なので、
　\(4\sqrt{10}\)：１２＝４：ＣＡ
　ＣＡ＝\(\frac{6\sqrt{10}}{5}\)（ｃｍ）　　・・・（答）

（２）ＣＢ＝\(\sqrt{（{4}^2＋{CA}^2）}\)
　　　＝\(\frac{4}{\sqrt{10}}\)
　よって、
　△ＡＣＢ＝\(\frac{4}{\sqrt{10}} \times \frac{12}{\sqrt{10}} \times \frac{1}{2}\)
　　　　　　　＝\(\frac{12}{5}\) (ｃｍ^２)

接線・内接円と面積 | 中学から数学だいすき！

以上の講義を踏まえて、演習問題に行ってみよう！

演習問題：三角形の内分点と面積比

三角形の内分点と面積比の問題です。
面積の問題の対処法は2パターンしかないことを思い出しましょう。
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説

本問では辺の長さが具体的に与えられていません。
しかも、本問の主旨は「△ABCと△DEFの面積比を求めよ」ということです。

これらのことから、今回は1の方針が適切であると判断できます。

△ABCと△CEFの面積比は？

図のように、点AおよびFから辺BCへ下ろした垂線の足をそれぞれP、Qとします。
AP//FQなので、△ACP∽△FCQ
これより、AP：FQ＝3：2

これは△ABCの高さと△CEFの高さの比が\(1:\frac{2}{3}\)であることと同義です。
さらに、BC：CP＝3：1なので、△ABCの底辺と△CEFの底辺の比は\(1:\frac{1}{3}\)です。

このことより、△ABC：△CEF＝\(1:\frac{2}{3}×\frac{1}{3}\)＝\(1:\frac{2}{9}\)

全体から余計な部分を除く

同様の手順によって、△ABC：△ADF＝\(1:\frac{2}{9}\)が示されます。
同じく、△ABC：△BDE＝\(1:\frac{2}{9}\)です。

ゆえに、△DEF＝△ABC−（△ADF＋△BDE＋△CEF）＝\(\frac{1}{3}\)△ABC

よって、２が正解です。

別解：三角比の面積公式による方法

「解法のポイント」の２を使った解き方もあります。

三角形の面積公式には、三角比を使ったものがありました。

「三角形の面積は、2辺とその間の角度を用いて表される」というものでしたね。
これによれば、角度が共通な三角形の面積比は、はさむ2辺の比に等しいことになります。

例えば本問の場合、△ABCと△ADFは∠Aが共通なので、∠Aをはさむ2辺の長さの比から面積比を知ることができます。

\begin{eqnarray}
△\mathrm{ADF} &=& \frac{1}{2}\mathrm{AD}×\mathrm{AF}\sin \angle\mathrm{A} \\
&=&\frac{1}{2}×\frac{2}{3}\mathrm{AB}×\frac{1}{3}\mathrm{AC}\sin \angle\mathrm{A} \\
&=&\frac{2}{9}\left(\frac{1}{2}\mathrm{AB}×\mathrm{AC}\sin \angle\mathrm{A}\right) \\
&=&\frac{2}{9}△\mathrm{ABC}
\end{eqnarray}

全く同様の手順により、△BDE＝△CEF＝\(\frac{2}{9}\)△ABCを知ることができます。

△DEF＝△ABC−（△ADF＋△BDE＋△CEF）＝\(\frac{1}{3}\)△ABCより、２が正解です。

おわりに

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

面積の問題は、もとの図形との相似比か面積公式で解けます。

今回は、三角形の内分点を頂点とする三角形と面積比に関する問題でした。
何度も言いますが、面積の問題を見たら、まずは公式か相似比か、いずれを使って解く問題なのかを判断するのが大切です。
前回やった公式を使うパターンに対し、今回は相似比を使うパターンでした。
面積の解法2パターンは、絶対暗記してください。
知っているだけで心強いですし、実際に得点率も上がるはず。

小学校で習う底辺と高さの面積公式を用いた解法に加え、別解として高校数学で習う三角比を使った面積公式による解法を紹介しました。
前者は中学生でも理解できる解法ですが、数学が得意な方には、むしろ別解の方が分かりやすく感じられるかもしれません。
どちらでも、ご自分が理解しやすいやり方を身に付けてください。

最後までお読みいただきありがとうございました！

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