【国家総合職】公務員試験でよく出る面積を求める問題の解き方2パターン【共通接線と面積】

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今回のテーマは「面積」です。
面積の問題に対する解法は２パターンあります。
以下の記事で、面積の問題の解き方を詳しく書いているので、まだ見てない方はぜひ覗いてみてください。

演習問題：共通接線と面積

共通接線と面積の問題です。
面積といえば公式か相似比ですが、今回はどちらのパターンでしょう？
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説

平面図形の面積を求める方法は2通りでしたね。

本問の場合、求めたい四角形OAPBと相似な図形は見当たりません。
四角形OAPBを三角形に分割したとしても、相似の関係だけで面積を知るのはどうも難しそうです。

そこで、本問は2の面積公式による方法を使って解く方針でいきます。

四角形OAPBってどんな形？

面積の公式を使う場合、四角形OAPBが何者か（＝平行四辺形なのか台形なのか）を知る必要があります。
そこで、まずは四角形OAPBの形状を調べます。

直線ABは円Oおよび円Pの両方に接するので、OA⊥ABかつPB⊥AB
よって、OA//PB
これより、四角形OAPBは台形であることが分かります。

OA=1なので、あとはPBとABの長さが分かれば、台形の面積の公式が使えますね。
次は、この2つを明らかにしていきます。

辺の長さを調べて面積の公式を使う

2本の共通接線の交点をCとすると、∠OCA＝∠PCB＝30°
よって、△OACおよび△PBCはともに\(1:2:\sqrt{3}\)の直角三角形です。

OA＝1なので、OC＝2、AC＝\(\sqrt{3}\)
これより、PC＝5−2＝3
すると、PB＝\(\frac{3}{2}\)、BC＝\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
よって、AB＝\(\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)

以上より、\((四角形\mathrm{OAPB})=\frac{\mathrm{OA}+\mathrm{PB}}{2}×\mathrm{AB}=\frac{1+\frac{3}{2}}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{8}\)

よって、４が正解です。

おわりに

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

面積の問題は、相似か面積公式、どちらかで解けます。

共通接線をテーマにした面積の問題でした。
面積の問題を見たら、公式か相似比か、いずれを用いるパターンなのかを見極めましょう。
前者であれば線分の長さを求めるのが目標になりますし、後者なら相似の関係にある図形を探す必要があります。
本問は相似の関係では解決できないので、四角形OAPBが台形であることを見抜いて、公式を利用することになります。
OPが共通接線の成す角（60°）を二等分することは、知識として知っておきましょう。

最後までお読みいただきありがとうございました！

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