【国家総合職】面積の問題の解法は2通りしかないって知ってました？【図形の折り返しと面積】

こんにちは。初めましての方は初めまして。ご覧いただきありがとうございます！
本ブログ、「数的処理の穴場」を運営しておりますモクセイと申します。

今回のテーマは「面積」です。
実は、面積の問題の解法って２パターンしかないんです。
以下の記事に詳しく書いているので、まだ見てない方はぜひ覗いてみてください。

演習問題：図形の折り返しと面積

折り返しがテーマの図形問題です。
「中点」という条件が提示されていることから、線分の長さがカギになってきそうですね。
以下、詳しい解説ですが、回りくどいのが苦手な方は一番下に略解も載せてあるので、そこだけ見てもらっても大丈夫です。

それでは、解説スタート！

問題文を見る

詳しい解説

図形問題で面積を求める方法は、大きく分けて２つ。

１は相似比などを利用して解く方法なので、「角度」とか「平行線」が問題の条件として与えられることが多いです。
対して、２は長さに関する情報が与えられた場合に有効です。

本問では「１辺の長さが１」とか「中点」といったヒントがあるので、２の方針が使えそうですね。
必要なのは直角三角形D´EGの２辺D´EおよびD´Gの長さです。

以下、直角三角形D´EGの２辺D´EおよびD´Gの長さを求める方針で進めます。

直角三角形BC´Fの辺の長さ

辺BFの長さを\(x\)とおくと、BCは正方形の１辺なので、線分CFの長さは\(1-x\)です。
ここで、折り返し、という条件を思い出しましょう。
もともと、線分C´Fは線分CFを折り返したものなので、長さは一致します。
よって、線分C´Fの長さも\(1-x\)です。

これで直角三角形BC´Fの３辺の長さが出揃いましたね。
三平方の定理を使えば、\(x\)の値を求めることができます。

\((1-x)^2=x^2+(\frac{1}{2})^2\)を解いて、\(x=\frac{3}{8}\)

直角三角形AC´Gの辺の長さ

直角三角形AC´Gについて、与えられた条件だけでは辺AC´が\(\frac{1}{2}\)であることしか分かりません。
辺C´Gの長さが分かれば、C´D´=1よりD´Gが分かるのですが、何かいい方法はないでしょうか？

結論を言うと、三角比を使います。

△AC´Gは直角三角形なので、∠AC´G（あるいは∠AGC´）が分かれば三角比が利用できそうですね。
∠BC´F=\(\theta\)とおけば、∠BC´F+∠FC´D+∠AC´G=\(\pi\)より、∠AC´G=\(\frac{\pi}{2}-\theta\)となります。

このとき、角度\(\theta\)に関する三角比が以下のように求められます。

\[
\sin\theta=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{C´F}}=\frac{3}{5},
\cos\theta=\frac{\mathrm{BC´}}{\mathrm{C´F}}=\frac{4}{5},
\tan\theta=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{BC´}}=\frac{3}{4}
\]

これを用い、直角三角形AC´Gの辺の長さC´Gを以下のように求めます。

\[
\mathrm{C´G}=\frac{\mathrm{AC´}}{\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\frac{\frac{1}{2}}{\sin\theta}=\frac{5}{6}
\]

直角三角形D´EGの辺の長さと面積

すると、\(\mathrm{D´G}=\mathrm{C´D´}-\mathrm{C´G}=\frac{1}{6}\)のようにD´Gの長さも分かります。

さらに、∠D´GE=\(\theta\)の関係、および△D´EGが直角三角形であることより、以下のように辺D´Eの長さを求めます。

\[
\mathrm{D´E}=\mathrm{D´G}\tan\theta=\frac{1}{8}
\]

これで、直角三角形D´EGの２辺D´G（底辺）およびD´E（高さ）が揃いましたね。
あとはこれらを面積公式に当てはめればいいですね。

\[
△\mathrm{D´EG}=\frac{1}{2}\mathrm{D´G}×\mathrm{D´E}=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×\frac{1}{8}=\frac{1}{96}
\]

したがって、４が正解です。

おわりに

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

面積の問題は、相似比か面積公式で解けます。

折り返しという条件と、長さや角度の設定がポイントとなる問題でしたね。
途中、「余角の公式」と「半角の公式」を利用してます。
しれっと使っていますが、余角の公式も併せて、三角比（三角関数）の公式はしっかりと使えるように頭の引き出しに入れておいてください。

国家総合職の数的処理を攻略する上で、平面図形の対策は避けて通れません。
平面図形の対策を怠ると空間図形の問題も苦しくなりますから、くれぐれも万全の対策をとって本番に臨んでほしいと思います。

最後までお読みいただきありがとうございました！

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略解