【国家総合職】確率は「５つの道具」で攻略しよう【トーナメントに勝ち残る確率】

 

こんにちは！
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「確率・場合の数」といえば、頻出なのにもかかわらず苦手意識を持つ方も少なくない、数的処理の鬼門です。
事象のカウントに分数の約分……
少しのミスが誤答につながります。

正答を導き出すには、樹形図や和の法則、積の法則といった道具から適切な解法を選び出す必要があります。
苦手な方には、そもそも適切な解き方を選ぶことも難しいかもしれません。

今回は、「確率・場合の数」で頻出の解法のパターンを紹介します。
後半は過去問の類題を一緒に解いて理解してもらい、本番で使える解き方を身につけていってもらいます！

講義：確率（＆場合の数）の解き方５パターン

確率（と場合の数）の問題は、次の５通りの解法を頭に入れておけばOKです。

これらの方法は、いずれか一つで解ける場合もありますが、複雑な問題だといくつか組み合わせて解くことになります。

事象をカウントし定義から求めるやり方

【１】樹形図や書き出しによる数え上げ

条件に合う事象をひたすら列挙して数え上げる、ちょっと力技な解法です。
両手で数えられる程度のパターン数を扱うケースや、途中で分岐を生じるような場合に有効です。
順番を気にするなら樹形図、順番ではなくグループ（組み合わせ）が問題なら書き出しを使うと解ける傾向があります。

（問）

（答）

【確率】問題２ | 公務員試験数的処理解法テクニック KOMARO

上の例題では、最も長い辺が４〜６のいずれかに限られることに着目し、全パターンを数え上げてます。

順番ではなく「組」が重要なことから、書き出しによる方法が有効です。
（{6,5,4}も{6,4,5}も{5,6,4}も同じ）
樹形図を書いて考えてもOKです。

【２】組み合わせや順列を使った計算

組み合わせや順列を使って機械的にカウントする方法もあります。
扱う事象が多すぎる場合に有効です。
書き出しても書き出してもキリがないときは、このやり方を検討してみてください。

ちなみに、確率の分母はほぼほぼこの方法で求めることになります。

（問）

（答）

【確率】問題１ | 公務員試験数的処理解法テクニック KOMARO

上の例題では、余事象を経由して確率を求めてます。
１７本のはずれくじ（a,b,c,d,e,…）から２本を取り出すときの取り出し方は、
(a,b)、(b,c)、(b,e)、(c,e)、……
と、ちょっと考えただけでもたくさん出てきます。

こういうケースは、（答）にもあるように、組み合わせの考え方を活用するのが正解です。

確率から確率を求めるやり方

以下の解き方は、既知の確率から別の事象の確率を求めるときに有効です。

【３】排反事象の足し算（和の法則）

２つの事象AとBが同時に起こらない（＝排反事象である）場合、「AまたはB」の確率はAの確率とBの確率の足し算で求められます。
……というのが、和の法則です。
実戦的には、排反なケース（AとB）に場合分けしたあと、それらを足し合わせて「AまたはB」の確率を求める、という使い方をします。

【４】独立事象の掛け算（積の法則）

２つの事象AとBがあって、これらが互いに影響し合わずに起こる（＝独立事象である）とき、「AかつB」の確率はAの確率とBの確率の掛け算で求められます。
……これが、積の法則です。
実戦的には、AかつBの確率を直接求めるのが難しいときに、「Aの確率」と「Bの確率」を別々に求めて掛け合わせる、という使い方をします。

【５】全体から引く（余事象の確率）

Aが起こる確率は、「全事象の確率（＝１）」から「Aが起こらない確率」を引くことでも求められます。
「少なくとも〜」という表現を見たら、このやり方です。

（問）

ある高速道路にはA、B、Cのインターチェンジがこの順に並んでおり、
AB間とBC間を通るときに渋滞に遭う確率はそれぞれ0.3と0.2である。A～
Cまで高速道路を走行するとき、AB間とBC間の少なくとも一方で渋滞に遭
う確率はいくらか。
1. 0.34
2. 0.39
3. 0.44
4. 0.49
5. 0.54

（答）

「１－渋滞に遭わない確率」で考えればよい。
よって「1 － (0.7×0.8)＝0.44」となる。

公務員試験過去問 数的推理 確率 | 問題野郎

上の例題は、和の法則と余事象、両方を使って解いてます。
「少なくとも一方で〜」という表現があるので、余事象の確率（＝ABとBCでいずれも渋滞に遭わない確率）が有効です。
さらに、「ABで渋滞に遭わない」という事象と、「BCで渋滞に遭わない」という事象は互いに影響し合わない（＝独立事象）ので、余事象の確率は「ABで渋滞に遭わない確率」と「BCで渋滞に遭わない確率」の積となります。

演習問題：トーナメントの決勝戦に勝ち残る確率

トーナメント戦で特定のチームが勝ち残る確率の問題。
気づけば早い。

以下、詳しい解説。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下の略解を見てね。

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：定義からでも、確率からでも

本問は、「３回戦で対戦するのはどのチーム？」が争点。
経緯はどうあれ、３回戦のチームが結果として「A または B」であればよいわけです。

ゴールからの逆算で考えてみます。
先にゴール（３回戦の対戦チーム）を決めておき、その状態に至る確率を調べる、という順番です。

以下、例として３回戦の対戦チームを（A,B）に決め、そうなる確率を求めます。

入れ子構造の場合分け

３回戦が（A,B）であるためには、AとBが左右別々のブロックにいることが前提になります。

Aの場所（a1〜a3）一つ一つに対し、Bの場所は３通り（b1〜b3）ずつ。
b1〜b3は同時に起こらない（＝排反）ので、
a1の確率：b1＋b2＋b3

さらに、a1〜a3も同時に起こらない（＝排反）ので、
（A,B）の確率：a1＋a2＋a3

a2とa3も、同じように求められます。

（A,B）の確率：a1〜a3は排反

（A,B）の確率＝a1＋a2＋a3、であったことを思い出せば、

\[
\frac{1}{180}+\frac{1}{180}+\frac{1}{45}=\frac{1}{30}
\]

ここに、×（パターン数）で求める確率になります。
あともう一息。

（□, □）のパターン数＝A〜Fから２個取る順列

ここまで、３回戦のペアを（A,B）に固定して考えてきました。
実際には、ペアの数だけ確率\(\frac{1}{30}\)があります。

しかも、どのペアも同時に起こらない（排反）ので、条件に合うペアの数だけ\(\frac{1}{30}\)を足し合わせれば、求める確率になります。

条件を満たすペアはいくつでしょう？

A〜Fの中から２つ選んで、３回戦のポスト（□,□）に当てはめる、と考えれば、順列が使えます。

全パターン：\({}_6 \mathrm{P}_2=6×5=30\)通り
AもBも含まれない：\({}_4 \mathrm{P}_2=4×3=12\)通り
→AまたはBを含む：\(30-12=18\)通り

AまたはBが３回戦に進む確率は、

\[
18×\frac{1}{30}=\frac{3}{5}
\]

よって、３が正解です。

別解：定義からも確率を求められる

勝ち負けの確率を使わず、定義から求める方法もあります。

３回戦に上がってくるのは誰か、という点で考えれば、起こりうる全てのパターンは\({}_6 \mathrm{C}_2=15\)通りに言い尽くされています。
このうち、AもBもいないパターンは\({}_4 \mathrm{C}_2=6\)通り
→AまたはBがいるパターンは１５ー６＝９通り
→\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)と求めることもできます。

おわりに：「数え上げて定義」か「確率から確率」か

お疲れ様でした！

確率（＆場合の数）を解くための道具は５つ。
数え上げ、順列＆組み合わせ、和の法則、積の法則、余事象です。

場合分けの先で場合分けが必要になる、確率の問題でした。
場合分けの入れ子構造を念頭に置きつつ、自分がいまどのケースを扱っているのか、迷わないように進めましょう。

最後までお読みいただきありがとうございました！

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