こんにちは!
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。
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【3】誰でもすぐに使える「解法のポイント」
を扱う、ありそうでなかった数的処理の学習サイトです。
公務員試験を受ける方は必見!
ぜひ最後まで読んでいってください。
「解法のポイント」はないこともある、かもしれない
今回のテーマは……「確率・場合の数」
まずは本サイトの肝である「解法のポイント」を紹介。
絶対に、これだけは覚えていってください。
-
事象をカウントし定義から求めるやり方
- 樹形図や書き出しによる数え上げ
- 組み合わせや順列を使った計算
-
確率から確率を求めるやり方
- 排反事象の足し算(和の法則)
- 独立事象のかけ算(積の法則)
- 全体から引く(余事象の確率)
この「解法のポイント」について、詳しく知りたい方は以下の記事をチェック。
ぶっちゃけて言うと、これだけでこの記事の半分はおしまい。
ほら、時間的な感覚だと人生の折り返しは20歳っていうし。
終了、解散!
ここからは、過去問をもとに作ったオリジナルの演習問題を解きながら、「解法のポイント」の使い方を学んでいきます。
演習問題:保護者を含むグループに分ける場合の数
ある地域の学校では、児童の安全に配慮し集団下校を実施している。いま、この学校にいる4人の保護者と8人の児童から、任意の4人を選出して集団下校のグループを作る。グループには必ず1人以上の保護者を含めるものとすると、異なるグループは何通り作れるか。
ただし、4人のうち1人でもメンバーが異なれば、異なるグループとみなす。
- 370通り
- 425通り
- 495通り
- 545通り
- 580通り
2
特定の人を含むグループ分けの問題。
グループ分けの条件をうまく読みかえるのがカギ。
以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。
おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者
おそすぎる自己紹介
それでは、解説スタート!
解説:余事象の場合の数を引く
問題文をよく読むと、「グループには必ず1人以上の保護者を含める〜」という記述があります。
これは、「『少なくとも』1人以上の保護者を〜」と言い換えてもいいでしょう。
「少なくとも」には余事象
-
事象をカウントし定義から求めるやり方
- 樹形図や書き出しによる数え上げ
- 組み合わせや順列を使った計算
-
確率から確率を求めるやり方
- 排反事象の足し算(和の法則)
- 独立事象のかけ算(積の法則)
- 全体から引く(余事象の確率)
イメージしやすいように図を描いてみます。
全事象Uは、保護者がグループに0〜4人いる場合の数を合計したものです。
図のように、「1人以上の保護者」を含む場合の数(オレンジ)は、全体から(※)を引くことで求められます。
つまり、「Uー(※)」です。
面倒だけどA+B+C+Dでも可(→別解)
というわけで、全体から余事象を引く解き方でいきます。
組み合わせで余事象をカウント
まず全事象をカウントします。
保護者と児童の計12人から4人を選ぶ選び方は、
\({}_{12} \mathrm{C}_4=495\)通り
本問でいう余事象は、「保護者が1人もいないグループ」のこと。
つまり、4人とも児童からなるグループです。
児童8人から4人選ぶ選び方は、
\({}_8 \mathrm{C}_4=70\)通り
これを全事象から引き算すればOK。
1人以上の保護者を含むグループの選び方は、
\(495-70=425\)通り
よって、2が正解です。
別解:場合分けによる正面突破も可能
ちなみに、余事象を使わないで解くこともできます。
その場合は、グループにいる保護者の人数(1人 or 2人 or 3人 or 4人)で場合分けして足し合わせればOKです。
解説は読者に委ねます。
この先はきみ自身の目で確かめてくれ!
丸投げここに極まれり
おわりに:場合の数の「少なくとも」は余事象で
お疲れ様でした!
保護者を含むグループを作る問題でした。
確率や場合の数で「少なくとも」という表現があったら、余事象が近道です。
易しめの問題なので、確実に正解したいところ。
計算ミスには注意
オマケのもう一問↓
「ラーメンの汁が飛び散って目に入った」って訴訟したら勝てるかな
アメリカならワンチャン
最後までお読みいただきありがとうございました。
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略解
(全体)ー(余事象)で求める。
保護者と児童の計12人から4人を選ぶ選び方は、
\({}_{12} \mathrm{C}_4=495\)通り
このうち、4人とも児童であるグループの選び方は、
\({}_8 \mathrm{C}_4=70\)通り
これより、1人以上の保護者を含むグループの選び方は、
\(495-70=425\)通り
よって、2が正解である。
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