【国家一般職】数的処理の場合の数(&確率)の攻略法を5つ紹介【保護者を含むグループに分ける場合の数】

【国家一般職】数的処理の場合の数(&確率)の攻略法を5つ紹介【保護者を含むグループに分ける場合の数】 場合の数・確率
【国家一般職】数的処理の場合の数(&確率)の攻略法を5つ紹介【保護者を含むグループに分ける場合の数】

こんにちは!
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。

ここって何?
【1】オリジナルの演習問題
【2】どこよりも詳しい解説
【3】誰でもすぐに使える「解法のポイント」
を扱う、ありそうでなかった数的処理の学習サイトです。

公務員試験を受ける方は必見!
ぜひ最後まで読んでいってください。

モクセイ
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「解法のポイント」はないこともある、かもしれない

今回のテーマは……「確率・場合の数」
まずは本サイトの肝である「解法のポイント」を紹介。
絶対に、これだけは覚えていってください。

解法のポイント
確率(&場合の数)の解き方
  • 事象をカウントし定義から求めるやり方
    1. 樹形図や書き出しによる数え上げ
    2. 組み合わせや順列を使った計算
  • 確率から確率を求めるやり方
    1. 排反事象の足し算(和の法則)
    2. 独立事象のかけ算(積の法則)
    3. 全体から引く(余事象の確率)

この「解法のポイント」について、詳しく知りたい方は以下の記事をチェック。

ぶっちゃけて言うと、これだけでこの記事の半分はおしまい。
ほら、時間的な感覚だと人生の折り返しは20歳っていうし。

モクセイ
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終了、解散!

ここからは、過去問をもとに作ったオリジナルの演習問題を解きながら、「解法のポイント」の使い方を学んでいきます

演習問題:保護者を含むグループに分ける場合の数

ある地域の学校では、児童の安全に配慮し集団下校を実施している。いま、この学校にいる4人の保護者と8人の児童から、任意の4人を選出して集団下校のグループを作る。グループには必ず1人以上の保護者を含めるものとすると、異なるグループは何通り作れるか。

ただし、4人のうち1人でもメンバーが異なれば、異なるグループとみなす。

  1. 370通り
  2. 425通り
  3. 495通り
  4. 545通り
  5. 580通り

特定の人を含むグループ分けの問題。
グループ分けの条件をうまく読みかえるのがカギ。

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

モクセイ
モクセイ

おそすぎる自己紹介

それでは、解説スタート!

解説:余事象の場合の数を引く

問題文をよく読むと、「グループには必ず1人以上の保護者を含める〜」という記述があります。
これは、「『少なくとも』1人以上の保護者を〜」と言い換えてもいいでしょう。

モクセイ
モクセイ

「少なくとも」には余事象

解法のポイント
確率(&場合の数)の解き方
  • 事象をカウントし定義から求めるやり方
    1. 樹形図や書き出しによる数え上げ
    2. 組み合わせや順列を使った計算
  • 確率から確率を求めるやり方
    1. 排反事象の足し算(和の法則)
    2. 独立事象のかけ算(積の法則)
    3. 全体から引く(余事象の確率)

イメージしやすいように図を描いてみます。

「少なくとも」は全体から余事象を引く
「少なくとも」は全体から余事象を引く

全事象Uは、保護者がグループに0〜4人いる場合の数を合計したものです。

図のように、「1人以上の保護者」を含む場合の数(オレンジ)は、全体から(※)を引くことで求められます。
つまり、「Uー(※)」です。

モクセイ
モクセイ

面倒だけどA+B+C+Dでも可(→別解)

というわけで、全体から余事象を引く解き方でいきます。

組み合わせで余事象をカウント

解き方要約:少なくともは全体ー余事象

まず全事象をカウントします。

保護者と児童の計12人から4人を選ぶ選び方は、
\({}_{12} \mathrm{C}_4=495\)通り

本問でいう余事象は、「保護者が1人もいないグループ」のこと。
つまり、4人とも児童からなるグループです。

児童8人から4人選ぶ選び方は、
\({}_8 \mathrm{C}_4=70\)通り

これを全事象から引き算すればOK。

1人以上の保護者を含むグループの選び方は、
\(495-70=425\)通り

よって、2が正解です。

別解:場合分けによる正面突破も可能

ちなみに、余事象を使わないで解くこともできます。
その場合は、グループにいる保護者の人数(1人 or 2人 or 3人 or 4人)で場合分けして足し合わせればOKです。
解説は読者に委ねます。

この先はきみ自身の目で確かめてくれ!

モクセイ
モクセイ

丸投げここに極まれり

おわりに:場合の数の「少なくとも」は余事象で

お疲れ様でした!

保護者を含むグループを作る問題でした。
確率や場合の数で「少なくとも」という表現があったら、余事象が近道です。
易しめの問題なので、確実に正解したいところ。

モクセイ
モクセイ

計算ミスには注意

オマケのもう一問↓

最後に一言

「ラーメンの汁が飛び散って目に入った」って訴訟したら勝てるかな

モクセイ
モクセイ

アメリカならワンチャン

最後までお読みいただきありがとうございました。

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次回もお楽しみに!

略解

(全体)ー(余事象)で求める。

保護者と児童の計12人から4人を選ぶ選び方は、
\({}_{12} \mathrm{C}_4=495\)通り

このうち、4人とも児童であるグループの選び方は、
\({}_8 \mathrm{C}_4=70\)通り

これより、1人以上の保護者を含むグループの選び方は、
\(495-70=425\)通り

よって、2が正解である。

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