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本サイト、「数的処理の穴場」を運営しておりますモクセイと申します。
今回のテーマは「確率」です。
確率の解き方は５つあり、そこから必要な解法を選択することで解けます。
確率の解き方について、詳しく知りたい方は以下の記事がオススメ。
演習問題：血液型が重複する確率
ある地域に住む住民の血液型（A型、B型、O型、AB型）の割合を調べると、ちょうど\(\frac{1}{4}\)ずつであることが分かった。いま、この地域の住民をランダムに４人選出した結果、４人のうち２人以上が同じ血液型である確率はいくらか。
ただし、この地域には十分な数の住民がいるものとする。
- \(\frac{25}{32}\)
- \(\frac{13}{16}\)
- \(\frac{55}{64}\)
- \(\frac{7}{8}\)
- \(\frac{29}{32}\)
５
無作為に選んだ４人の中に同じ血液型がいる確率を問う問題です。
確率の基本の解き方から、適切な解法を選択してください。
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。
それでは、解説スタート！
解説：余事象と積の法則の合わせ技
確率の解法をおさらいします。
-
事象をカウントし定義から求めるやり方
- 樹形図や書き出しによる数え上げ
- 組み合わせや順列を使った計算
-
確率から確率を求めるやり方
- 排反事象の足し算（和の法則）
- 独立事象のかけ算（積の法則）
- 全体から引く（余事象の確率）
「少なくとも〜」は余事象で
本問は、各血液型を選ぶ確率\(\frac{1}{4}\)が与えられています。
加えて「４人のうち２人以上」という部分に注目すると、余事象を考えるのが近道だと判断できます。
「２人以上」っていうのは「少なくとも２人はいる」ってこと
ここでいう余事象は「４人の血液型が全て異なる」場合です。
その確率を１から引けばOKです。
独立事象には積の法則
以下、４人の血液型が全て異なる確率を求めます。
まず、１人目はどの血液型でもいいので、確率\(1\)（仮にA型とします）
２人目はA型以外を選ぶ確率で、確率\(\frac{3}{4}\)（仮にB型とします）
３人目はA型とB型以外を選ぶ確率で、確率\(\frac{2}{4}\)（仮にO型とします）
４人目はA型とB型とO型以外を選ぶ確率で、確率\(\frac{1}{4}\)
「１人選ぶ」という試行は各回とも独立なので、次のようにかけ算で求められます。（積の法則）
十分な数の住民がいるから、１人選んでも次の試行には影響なし
\[
1×\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}=\frac{3}{32}
\]
これが余事象の確率なので、求める確率は次のように計算できます。
\[
1-\frac{3}{32}=\frac{29}{32}
\]
以上より、５が正解です。
おわりに：「少なくとも」は余事象で、独立は積の法則で
お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？
位置関係は、制約が多い条件から処理するのが定石です。
制約のキツさを見極めるには、条件文の長さが一つの目安になります。
今回は、余事象と積の法則を使って、血液型が重複する確率を求める問題でした。
「２人以上いる」を「少なくとも２人いる」と言い換えるのがポイント。
余事象を使うことにさえ気づければ、あとは難しくありません。
こういうシンプルな問題で正解を着実に積み重ねれば、十分合格圏内に入れます。
逆に、解きやすい問題は取りこぼすと周りに差をつけられるから注意
灯油の移動販売車の曲って、なんであんな悲しげなの？
最後までお読みいただきありがとうございました。
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略解
余事象「４人の血液型が全て異なる場合」の確率から求める。
まず、１人目はどの血液型でもいいので、確率\(1\)（仮にA型とする）
２人目はA型以外を選ぶ確率で、確率\(\frac{3}{4}\)（仮にB型とする）
３人目はA型とB型以外を選ぶ確率で、確率\(\frac{2}{4}\)（仮にO型とする）
４人目はA型とB型とO型以外を選ぶ確率で、確率\(\frac{1}{4}\)
求める確率は、余事象の確率より
\[
1-(1×\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4})=\frac{29}{32}
\]
したがって、５が正解である。
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