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「解法のポイント」はないこともある、かもしれない
今回のテーマは……「面積（平面図形）」
本サイトでは、面積の問題にはパターンがある、と説明しています。
次の2つ。
- 大きさが分かっている図形との相似比から求める方法
- 具体的に長さを求めて面積公式に当てはめる方法
面積の問題を見たら、
相似比か、公式か
を見極めましょう。
どちらのパターンかが分かると、解答の方針が立ちます。
相似比 → 比の関係が必要→相似な図形はないかな？
公式 → 辺や線分の長さが必要→長さを書き出してみよう
といったように。
今回は、平面図形の面積の問題を解説。
例によって、数的処理の過去問みたいなやつです。
高校受験相当の知識があればOK
演習問題：接する円のすき間の面積
図のように、互いに接する半径の等しい2つの円A,Bと半径2の半円に対し、共通接戦\(l\)を引く。このとき、灰色の部分の面積はいくらか。
- \(8(2 + 2 \sqrt{2}) – 4(1 + \sqrt{2}) \pi\)
- \(8(3 + 2 \sqrt{2}) – 4(2 + \sqrt{2}) \pi\)
- \(8(3 + 2 \sqrt{2}) – 4(3 + \sqrt{2}) \pi\)
- \(8(3 + 2 \sqrt{2}) – 4(2 + 3\sqrt{2}) \pi\)
- \(8(3 + \sqrt{2}) – 4(2 + \sqrt{2}) \pi\)
２
「接する」がキーワード。
以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。
おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者
おそすぎる自己紹介
それでは、解説スタート！
図のように、互いに接する半径の等しい2つの円A,Bと半径2の半円に対し、共通接戦\(l\)を引く。このとき、灰色の部分の面積はいくらか。
- \(8(2 + 2 \sqrt{2}) – 4(1 + \sqrt{2}) \pi\)
- \(8(3 + 2 \sqrt{2}) – 4(2 + \sqrt{2}) \pi\)
- \(8(3 + 2 \sqrt{2}) – 4(3 + \sqrt{2}) \pi\)
- \(8(3 + 2 \sqrt{2}) – 4(2 + 3\sqrt{2}) \pi\)
- \(8(3 + \sqrt{2}) – 4(2 + \sqrt{2}) \pi\)
解説：円の面積の公式には半径が必要
面積の問題は、まず
相似比か公式か
を考えること。
本問は公式を使うパターンになってます。
半径が与えられてるし円には公式がある
とはいえ、直接求めるのは不可能。
公式が使える図形を探し、間接的に求めるしかありません。
平面図形といえば……補助線
平面図形には補助線：中心と接点を結ぶ
補助線を使って、公式が使える図形を見つけられますか？
本問で特徴的な点は、「中心」と「接点」
結んでみると、、、
長方形ができました～（ｲｪｱ−ﾌｯﾌｩ−）
この長方形の中をよく見ると、、、
おうぎ形と半円、それから灰色の領域に分けられます。
大きい円の半径が分かれば、公式で面積を求められそうね
（円に）接する、は接線と法線がカギ。
円の半径は？→直角三角形を見つける
次は、半円の半径をどうやって求めるか、です。
実は、これも色分けした図に答えがあります。
図の直角三角形に注目。
半円の半径を\(r\)とすれば、
大きい円の半径が分かりました。
あとは、全体から余分なエリアを引けばOK。
以上より、２が正解です。
おわりに：面積は「相似比か、公式か」
お疲れ様でした！
面積の問題は、
相似比か公式か
の見極めが肝心。
どちらのパターンかによって、注目すべきポイントは異なります。
必要な道具がそれぞれ異なるからです。
今回は公式を使うパターンでした
以下、参考。
「解法のポイント」について↓
「接線」がらみ↓
ちょっと有利な面積比の求め方↓
記憶保ったまま小学生に戻ったら背中にデスソースぬってYouTubeの王になる
そしてバタフライエフェクトでYouTubeが生まれない、と
最後までお読みいただきありがとうございました。
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