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公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。
【２】どこよりも詳しい解説
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を扱う、ありそうでなかった数的処理の学習サイトです。
公務員試験の数的処理をはじめとした、算数/数学の試験を受ける方は必見！
ぜひ最後まで読んでいってください。
「解法のポイント」はないこともある、かもしれない
今回のテーマは……「方程式」
方程式とは、簡単に言えば「等しい関係を＝（イコール）で結んだもの」
式さえ立てば、あとは両辺に同じ操作をするだけで未知の数量が分かってしまうスグレモノ。
「～はいくらか」とか「～を求めよ」って問題で使う
こう言うと、
「肝心の方程式がうまく立てられないから困ってんだよ！」
という声が聞こえてきそうです。
ごもっとも。
式を正しく立てられない、というお悩みは方程式を学ぶ人の多くが経験します。
大切なのは
「意味を理解して式を立てること」
式の両辺の意味は？
一つ一つの項は何を表すもの？
これらを説明できることが重要。
日ごろから誰かに説明できるように意識して方程式を立てると、よい練習になります。
今回は、式の意味を理解していないと間違える方程式の問題を扱います。
国家総合職の合格者であるモクセイが、数的処理の過去問みたいなオリジナル問題を世界一ていねいに解説します。
「簡単な問題は解けるのに、試験問題になると歯が立たない」
「いつもなんとなくで式を立てて解いちゃってるけど、本番が心配」
そんな人は、この記事を最後まで読んでいってください。
演習問題：製品を作る工員の仕事算
４人の工員A～Dが作業を分担し、４日間で製品Pを4つ（\(P_1\)～\(P_4\)）製造した。
- １日目：AとBとDが３時間、Cが２時間作業し、\(P_1\)が完成した。
- ２日目：AとDが１時間ずつ、BとCが２時間ずつ作業し、\(P_2\)が完成した。
- ３日目：Aが６時間、Cが４時間、Dが３時間作業し、\(P_3\)が完成した。
- ４日目：Cのみが１２時間作業し、\(P_4\)が完成した。
このうち、１日目のBは十分な作業スペースを確保できず、普段より３倍の時間がかかっていたことが分かっている。この作業を、A～Dのうちのいずれか２人が分担して行うとき、１つの製品が完成するのに要する時間の合計は最短でいくらか。
ただし、A～Dの時間当たりの作業量は常に一定であり、\(P_1\)～\(P_4\)の完成に必要な作業量は全て等しいものとする。
- 2.25時間
- 2.45時間
- 2.8時間
- 3.2時間
- 3.6時間
仕事算の問題。
方程式は「求めるもの」を文字でおくのがセオリーですが、仕事算は？
それでは、解説スタート！
解説：仕事の速さを文字でおく→連立方程式
箇条書きは、いずれも
「何人かで作業を分担したら、装置を完成させるのにこれだけ時間がかかったよ」
と言っています。
一定の仕事量と時間に関する「仕事算」の問題です。
仕事算も方程式の一種なので、次の3ステップで解きます。
- 未知数を文字でおく
- 数量の関係を式にする
- 連立させて解く
以下、例として1日目を考えます。
（他3日も同様）
１日目：AとBとDが３時間、Cが２時間作業し、\(P_1\)が完成した。
方程式を解くステップ1：未知数を文字で置く
仕事算は、「登場人物の時間当たりの作業量」を文字でおくのがセオリー。
→A～Dの1時間あたりの作業量を\(a～d\)とおく
Aは1時間あたり\(a\)の速さで3時間作業したので、Aの作業量は
\[a×3\]
のように表せます。
→B～Dも同じ。
なぜ「\(\frac{b}{3}\)」なのか？
説明しよう
\(\frac{b}{3}\)の「３」は、もちろん「３倍の時間がかかっていた」からきたもの。
３倍なんだから\(3b\)じゃないの？
文字の意味をおさらい。
\(a～d\)は「A～Dの1時間あたりの作業量」としていました。
言葉で書くと、
\[
\frac{台数}{時間}
\]
という意味。
１日目は作業「時間」が３倍。
→分母にかかる
→\(\frac{b}{3}\)
式の成り立ち理解していないと、字面にだまされます
方程式を解くステップ2：数量の関係を式にする
\(P_1\)の完成に要した作業量は、上で出たA～Dを合計したもの。
→\(3a+b+2c+3d\)
これが「1台の」\(P_1\)を作っているので、次の方程式が得られます。
\[
3a+b+2c+3d=1・・・（\mathrm{i}）
\]
\(a～d\)の意味は「1時間あたりに作れる製品の台数」
→本問の方程式は、台数を「文字の式」と「数字」の2通りに表してイコールで結んだものと理解できます。
Aは3時間→\(3a\)台
Ｂは1時間→\(b\)台
……
の合計＝1台
２～４つ目の条件も同じ
２日目：AとDが１時間ずつ、BとCが２時間ずつ作業し、\(P_2\)が完成した。
\[
a+2b+2c+d=1・・・（\mathrm{ii}）
\]
３日目：Aが６時間、Cが４時間、Dが３時間作業し、\(P_3\)が完成した。
\[
6a+4c+3d=1・・・（\mathrm{iii}）
\]
４日目：Cのみが１２時間作業し、\(P_4\)が完成した。
\[
12c=1・・・（\mathrm{iv}）
\]
「P1～P4の完成に必要な作業量は全て等しい」
→ぜんぶ「＝１」
条件の式が４つ得られました。
対し、未知数（文字）も４つなので、連立させて解けば\(a～d\)を具体的に求められます。
方程式を解くステップ3：連立させて解く
4元は「文字が４つある」って意味
まず、\(c\)はすぐ求められます。
(iv)より、\(c=\frac{1}{12}\)
→(i)～(iii)に代入し、整理
分かっている文字はすぐ代入で消してしまうのが吉
次に、(i)と(ii)に注目。
(ii)を3倍ずつした式から(i)を引くと……
\(a\)と\(d\)を一挙に消せる
\(b\)のみの方程式が残ります。
これならカンタン。
\(b\)について解くと、\(b=\frac{1}{3}\)
今度は\(b\)を代入し、整理します。
\(a\)と\(d\)の方程式が２つ。
解くと、\(a=\frac{1}{18}\) ,\(d=\frac{1}{9})\)
さて、本問で求めるのは「２人がかりで完成に要する時間（の最小値）」
最短で終わらせたいなら、仕事の早い人に任せるべし。
選ばれたのは、「BとD」でした。
BとDのタッグだと、1時間当たりの作業量は\(b+d=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}\)
このスピードで製品1台を作ると、かかる時間は\(1÷\frac{4}{9}\)＝2.25（時間）
よって、１が正解です。
おわりに：意味を理解して方程式を立てよう
お疲れ様でした！
式の意味を考える
これが、正しい方程式を得る秘訣。
本問なら、
\(b\)→１時間あたりの作業量（台数）
３時間の作業⇒作業量は３倍、\(b×3\)
３倍の時間がかかる⇒遅くなるから\(\frac{b}{3}\)
こんな風に、立てた式を誰かに説明できるとGood。
方程式の問題では、式が正しいことが必須条件ですが、立てられれば解けたも同然。
あとはお決まりの「手続き」だけで機械的に解ける分、攻略しやすい分野でもあります。
数的処理の穴場では、過去にも方程式の問題をたくさん紹介しています。
方程式の過去記事はコチラ。
☆ニュートン算
☆流水算
昔、近所にある電波塔のこと東京タワーだと思ってた
間違ってないけど合ってない
最後までお読みいただきありがとうございました。
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