【国家一般職】たった一つでいい。整数の割り算に効く「余りの万能公式」【割り算の余りの条件を満たす整数】

【国家一般職】たった一つでいい。整数の割り算に効く「余りの万能公式」【割り算の余りの条件を満たす整数】 数的推理
【国家一般職】たった一つでいい。整数の割り算に効く「余りの万能公式」【割り算の余りの条件を満たす整数】

こんにちは!
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。

ここって何?
【1】オリジナルの演習問題
【2】どこよりも詳しい解説
【3】誰でもすぐに使える「解法のポイント」
を扱う、ありそうでなかった数的処理の学習サイトです。

公務員試験を受ける方は必見!
ぜひ最後まで読んでいってください。

モクセイ
モクセイ

「解法のポイント」はないこともある、かもしれない

今回のテーマは……「割り算の余り(整数)

「整数」といえば、数的処理の一角を担う分野。
出題頻度が高いわりにここを苦手とする人は多く、得点に差がつく分野だったりします。

今回は、そんな整数問題の中でも、「余り」の問題にフォーカスします。
余りの問題には、いくつかのパターンがあり、それぞれに解き方が確立されています。

考える人
考える人

でも、一つ一つ覚えるのはちょっと大変……

そんな方に朗報!
余りの問題の解き方って、実は1つで十分なんです。

この記事では、余りの問題の多くをカバーできる、とっておきの解法を紹介します。
後半では、過去問に似せた演習問題を解きながら、その使い方を学びます

講義:整数の余り問題の解き方これ1つ

余りの問題でよくある出題パターンは以下。

  • 余りが等しい
  • 「割る数ー余り」が等しい
  • 「割る数+余り」が等しい
  • 共通点なし

それぞれ個々に解き方があるんですが……
今回紹介する「解法のポイント」は、その全てに対応できちゃいます

そんな、整数の余りの問題に効く、夢のような公式がこれ。

解法のポイント
整数の余りの万能公式:
条件に合う最小の数+割る数の最小公倍数×\(n\)

最初のうちは、これをとにかく覚えて使う、でも大丈夫です。
とはいえ、「なぜそうなるのか?」と背景にも興味を持ってほしい。

知的好奇心のある方のために、公式の成り立ちを少し説明しておきます。

なぜ最小数と最小公倍数なの?

余りの万能公式の成り立ち

例として、「3で割ると2余り、4で割ると1余る数」を考えます。

まず、「条件に合う最小の数」について。
これは、力技で見つけます。
「3で割って2余る数」と「4で割って1余る数」を書き出して探す、ということ。

3余り2→2,,8,11,14,17,……
4余り1→1,,9,13,17,……

これより、「条件の数=5+□×\(n\)」という式が立ちます。
\(n\)=0,1,2,3,……とすると、条件を満たす整数が順々に得られます。

モクセイ
モクセイ

数学だと、5は等差数列の「初項」にあたるよ

あとは、□に入る数が何か?です。
さっきのように書き出して法則を見つける、というのも手ですが……

「3余り2」は、5に3を一つずつ足し合わせた数→5+3×○
「4余り1」は、5に4を一つずつ足し合わせた数→5+4×○

条件の数は、緑字がイコールとなるものです。
3の倍数でもあって、4の倍数でもある……
12の倍数です。

モクセイ
モクセイ

12は等差数列の「公差」です

つまり、「条件の数 = 5+12×\(n\)」となります。

これが、万能の公式の成り立ちです。

以下では、「解法のポイント」を使っていくつか例題を解いていきます。

例題1:余りが等しいパターン

例題1:余りが等しいパターン

4で割っても7で割っても2余る3けたの整数で、最小の数はいくつか。

ふつうの解き方

余りが同じ、というパターン。
このパターンは、条件に合う整数を「割る数の最小公倍数×\(n\)+共通の余り」と表すのが定石。
\(n\)は0以上の整数です。

モクセイ
モクセイ

4でも7でも割り切れる数に2を足したのが条件に合う数

ここでは、\(28n+2\)と表せます。
\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめると、
\(28n+2\) = 2, 30, 58, 86, 114, ……

よって、正解は114、となります。

次は、これを「解法のポイント」で解いてみます。

「解法のポイント」で解く

この例題の場合、最小の数が「2(=共通の余り)」であるのはすぐ分かります。
割る数の最小公倍数は、4×7=28

よって、条件に合う整数は\(2+28n\)と表せます。
あとは「ふつうの解き方」と同じ。

ここに、\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめて書き出すと、
\(2+28n\)=2, 30, 58, 86, 114, ……

→正解は114

例題2:「割る数ー余り」が等しいパターン

例題2:「余りー割る数」が等しい

3で割ると1余り、5で割ると3余る2けたの整数はいくつあるか。

ふつうの解き方

このパターンは、条件に合う整数を「割る数の最小公倍数×\(n\)ー同じ差」と表すのが定石。
この例題の場合は、\(15n-2\)です。

モクセイ
モクセイ

2を足せば3でも5でも割り切れる→\(N+2=15n\)

\(n=1,2,3,……\)を当てはめると、
\(15n-2\)=13, 28, 43, 58, 73, 88, 103, ……

よって、正解は6個です。

次は、これを「解法のポイント」で解きます。

「解法のポイント」で解く

3で割ると1余る
→1,4,7,10,13,16,19,22,……

5で割ると3余る
→3,8,13,18,23,……

これより、条件に合う最小の数は「13」
割る数の最小公倍数は、3×5=15

よって、条件に合う整数は\(13+15n\)と表せます。

モクセイ
モクセイ

見た目は違うけど、式の意味は\(15n-2\)と同じ

ここに、\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめて書き出すと、
\(13+15n\)=13, 28, 43, 58, 73, 88, 103, ……

→正解は6個

例題3:「割る数+余り」が等しいパターン

例題3:「余り+割る数」が等しい

5で割ると4余り、6で割ると3余る整数のうち、100に最も近い数はいくつか。

ふつうの解き方

このパターンは、条件に合う整数を「等しい和+割る数の最小公倍数×\(n\)」と表すのが定石。
この例題の場合は、\(9+30n\)です。

\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめると、
\(9+30n\)=9,39,69,99129, ……

99と129なら、100により近いのは99ですね。
よって、正解は99となります。

次は「解法のポイント」で。

「解法のポイント」で解く

5で割ると4余る
→4,,14,19,24,……

6で割ると3余る
→3,,15,21,27,……

これより、条件に合う最小の数は「9」
割る数の最小公倍数は、5×6=30

よって、条件に合う整数は\(9+30n\)と表せます。

ここに、\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめて書き出すと、
\(9+30n\)=9,39,69,99129, ……

→正解は99

例題4:共通点がないパターン

例題4:共通点がない

9で割ると5余り、13で割ると11余る3けたの整数はいくつあるか。

余りは異なるし、割る数と余りを足しても引いても一致しない。
こんなケースも解決できます。

そう、「解法のポイント」ならね。

モクセイ
モクセイ

画像は梨だけどね

「解法のポイント」で解く

9で割ると5余る
→5,14,23,32,41,50,59,……

13で割ると11余る
→11,24,37,50,63,76,……

これより、条件に合う最小の数は「50」
割る数の最小公倍数は、9×13=117

モクセイ
モクセイ

火事と救急は119

よって、条件に合う整数は\(50+117n\)と表せます。

ここに、\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめて書き出すと、
\(50+117n\)=50,167284401518635752869986,1103, ……

→正解は8個

ちなみに。
割る数が大きい方の候補を書き出して小さい方で割っていく、というやり方もあります。
大きい方の候補の中から、小さい方の余りの条件に合う数を選び出すわけです。

この例題であれば、13で割ると11余る整数の候補を9で割っていき、5余る数を探します。

モクセイ
モクセイ

13で割るより9で割るほうがラク

以上、余りをテーマにした整数問題の解き方の解説でした。

ここからは、過去問をもとに作ったオリジナルの演習問題を解きながら、「解法のポイント」の使い方を学んでいきます

演習問題:割り算の余りの条件を満たす整数

ある整数を5,6,8で割った余りを{p, q, r}のように表すとする。いま、3つの整数A,B,Cについて、次のことが分かっているとき、A+B+Cはいくらか。

  • Aは、{2,2,2}である3けたの整数のうち、最大の数である。
  • Bは、{3,4,6}である3けたの整数のうち、小さい方から5番目の数である。
  • Cは、{4,3,1}である4けたの整数のうち、最小の数である。
  1. 2134
  2. 2337
  3. 2649
  4. 2745
  5. 2869

整数の余り問題の3種詰め合わせセット。
「解法のポイント」を知ってれば、どのパターンかを見極める必要はありません。

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

モクセイ
モクセイ

おそすぎる自己紹介

それでは、解説スタート!

解説:余りの公式を立てて候補を書き出す

整数の余りに関する問題の出題パターンは主に3つ。
A,B,Cを分類すると、以下の通りになります。

  • A→余りが等しい
  • B→「割る数ー余り」が等しい
  • C→「割る数+余り」が等しい
モクセイ
モクセイ

これ全て、「解法のポイント」で解ける

解法のポイント
整数の余りの万能公式:
条件に合う最小の数+割る数の最小公倍数×\(n\)

「講義」の項で挙げた例題は条件(割る数)が2つでしたが、3つでも同じように解くことができます

以下、A,B,Cを順に求めていきます。

A:最小数は「共通の余り」

解き方要約:Aは余りが同じ

このケースでは、「条件に合う最小の数」は余りそのもの、つまり2です。
「割る数の最小公倍数」は、5×6×4=120

これより、公式は
A=2+120\(n\)

Aは「3けたの整数のうち、最大の数」
候補を書き出すと、
2,122,242,362,482,602,722,842,962,1082,……

よって、A=962

B:「(6余り4)かつ(8余り6)」を5で割り算

解き方要約:Bは「余りー割る数」が同じ

このケースでは、「条件に合う最小の数」を力技で探します
後々のために、「5余り3」を残します

6余り4→4,10,16,22,28,34,……
8余り6→6,14,22,30,38,……

これより、「6余り4」であり、「8余り6」でもある整数は、次のように表せます。
22+24\(n\)

モクセイ
モクセイ

24は6と8の最小公倍数

この中から「5余り3」である数を取り出したものが、条件に合う整数です。
候補を書き出し、5で割ればOK

「22+24\(n\)」の候補を書き出すと、
22,46,70,94,118,142,……

これらを5で割ってみます。

22467094118142
5余り
モクセイ
モクセイ

最初に「5余り3」を残すとここがラク

よって、Bの「条件に合う最小の数」は118です。

「割る数の最小公倍数」は、5×6×4=120

これより、公式は
B=118+120\(n\)

Bは「3けたの整数のうち、小さい方から5番目の数」
候補を書き出すと、
118,238,358,478,598,718,……

よって、B=598

C:「5余り4」は後回しがラク

解き方要約:Cは「余り+割る数」が同じ

手順はBと同じ。
まずは「条件に合う最小の数」を力技で探します
やはり、後々のために「5余り4」を残します

6余り3→3,,15,21,27,33,……
8余り1→1,,17,25,33,41,……

これより、「6余り3」であり、「8余り1」でもある整数は、次のように表せます。
9+24\(n\)

この中から「5余り4」である数を取り出したものが、条件に合う整数です。

「9+24\(n\)」の候補を書き出し、5で割った余りを調べます

335781105129
5余り
モクセイ
モクセイ

4→3→2→1→0というサイクルにも気づいてほしい

よって、Cの「条件に合う最小の数」は9です。

「割る数の最小公倍数」は、5×6×4=120

これより、公式は
C=9+120\(n\)

Cは「4けたの整数のうち、最小の数」
候補を書き出すと、
9,129,249,369,489,609,729,849,969,1089,……

よって、C=1089

以上より、A+B+C=962+598+1089=2649

よって、3が正解です。

おわりに:整数の余りは最小数と最小公倍数が大事

お疲れ様でした!

条件に合う最小の数+割る数の最小公倍数×\(n\)
↑余りの問題には、この公式。

今回は、余りの条件を満たす整数を見つける問題でした。
典型的な3つのタイプが集約されています。
それぞれ毛色は異なりますが、全て「解法のポイント」の公式で対処できます
万能調味料くらい便利なので、ぜひとも使いこなしてほしいと思います。

モクセイ
モクセイ

うま味をぎゅっと凝縮した万能調味料、な回でした(?)

同じく整数問題で、「範囲をしぼってしらみつぶし」で解くものもあります。
こちらもかなり頻出なので、最後に紹介しておきます。

最後に一言

特上カプヌの醤油、まんま松茸のお吸い物のインスタントのやつだった

モクセイ
モクセイ

作りものを作りもので例えるな

最後までお読みいただきありがとうございました。

本サイトでは、今後もこうした演習用の問題をアップしていく予定なので、ブックマークなどして気軽に訪れてもらえたらうれしいです。
また、運営のやる気UPと記事のクオリティアップにつながりますので、ご意見やご感想などありましたら、お気軽にコメントにてお知らせください!

この記事が参考になったら、ぜひシェアしてください!

次回もお楽しみに!

略解

A
「条件に合う最小の数」は余りそのもの、つまり2
「割る数の最小公倍数」は、5×6×4=120

これより、A=2+120\(n\)

Aの候補を書き出すと、
122,242,362,482,602,722,842,962,1082,……

Aは「3けたの整数のうち、最大の数」なので、
A=962

B
6余り4→4,10,16,22,28,34,……
8余り6→6,14,22,30,38,……

これより、「6余り4」かつ「8余り6」である整数は、次のように表せる。
22+24\(n\)
→22,46,70,94,118,142,……

これらを5で割った余りは次表の通りである。

  22 46 70 94 118 142
5余り

「割る数の最小公倍数」は、5×6×4=120

これより、B=118+120\(n\)

Bの候補を書き出すと、
118,238,358,478,598,718,……

Bは「3けたの整数のうち、小さい方から5番目の数」なので、
B=598

C
6余り3→3,9,15,21,27,33,……
8余り1→1,9,17,25,33,41,……

これより、「6余り3」かつ「8余り1」である整数は、次のように表せる。
9+24\(n\)

「9+24\(n\)」の候補と、5で割った余りの対応は次表の通りとなる。

  33 57 81 105 129
5余り

「割る数の最小公倍数」は、5×6×4=120

これより、C=9+120\(n\)

Cの候補を書き出すと、
9,129,249,369,489,609,729,849,969,1089,……

Cは「4けたの整数のうち、最小の数」なので
C=1089

以上より、A+B+C=962+598+1089=2649

よって、3が正解である。

コメント

タイトルとURLをコピーしました