NEW!【国家一般職】たった一つでいい。整数の割り算に効く「余りの万能公式」【割り算の余りの条件を満たす整数】

こんにちは！
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。

公務員試験を受ける方は必見！
ぜひ最後まで読んでいってください。

今回のテーマは……「割り算の余り（整数）」

「整数」といえば、数的処理の一角を担う分野。
出題頻度が高いわりにここを苦手とする人は多く、得点に差がつく分野だったりします。

今回は、そんな整数問題の中でも、「余り」の問題にフォーカスします。
余りの問題には、いくつかのパターンがあり、それぞれに解き方が確立されています。

そんな方に朗報！
余りの問題の解き方って、実は１つで十分なんです。

この記事では、余りの問題の多くをカバーできる、とっておきの解法を紹介します。
後半では、過去問に似せた演習問題を解きながら、その使い方を学びます。

講義：整数の余り問題の解き方これ１つ

余りの問題でよくある出題パターンは以下。

• 余りが等しい
• 「割る数ー余り」が等しい
• 「割る数＋余り」が等しい
• 共通点なし

それぞれ個々に解き方があるんですが……
今回紹介する「解法のポイント」は、その全てに対応できちゃいます。

そんな、整数の余りの問題に効く、夢のような公式がこれ。

最初のうちは、これをとにかく覚えて使う、でも大丈夫です。
とはいえ、「なぜそうなるのか？」と背景にも興味を持ってほしい。

知的好奇心のある方のために、公式の成り立ちを少し説明しておきます。

なぜ最小数と最小公倍数なの？

例として、「３で割ると２余り、４で割ると１余る数」を考えます。

まず、「条件に合う最小の数」について。
これは、力技で見つけます。
「３で割って２余る数」と「４で割って１余る数」を書き出して探す、ということ。

３余り２→２，５，８，１１，１４，１７，……
４余り１→１，５，９，１３，１７，……

これより、「条件の数＝５＋□×\(n\)」という式が立ちます。
\(n\)＝０，１，２，３，……とすると、条件を満たす整数が順々に得られます。

あとは、□に入る数が何か？です。
さっきのように書き出して法則を見つける、というのも手ですが……

「３余り２」は、５に３を一つずつ足し合わせた数→５＋３×○
「４余り１」は、５に４を一つずつ足し合わせた数→５＋４×○

条件の数は、緑字がイコールとなるものです。
３の倍数でもあって、４の倍数でもある……
１２の倍数です。

つまり、「条件の数 ＝ ５＋１２×\(n\)」となります。

これが、万能の公式の成り立ちです。

以下では、「解法のポイント」を使っていくつか例題を解いていきます。

例題１：余りが等しいパターン

ふつうの解き方

余りが同じ、というパターン。
このパターンは、条件に合う整数を「割る数の最小公倍数×\(n\)＋共通の余り」と表すのが定石。
\(n\)は０以上の整数です。

ここでは、\(28n+2\)と表せます。
\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめると、
\(28n+2\) ＝ 2, 30, 58, 86, 114, ……

よって、正解は114、となります。

次は、これを「解法のポイント」で解いてみます。

「解法のポイント」で解く

この例題の場合、最小の数が「２（＝共通の余り）」であるのはすぐ分かります。
割る数の最小公倍数は、４×７＝２８

よって、条件に合う整数は\(2+28n\)と表せます。
あとは「ふつうの解き方」と同じ。

ここに、\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめて書き出すと、
\(2+28n\)＝2, 30, 58, 86, 114, ……

→正解は114

例題２：「割る数ー余り」が等しいパターン

ふつうの解き方

このパターンは、条件に合う整数を「割る数の最小公倍数×\(n\)ー同じ差」と表すのが定石。
この例題の場合は、\(15n-2\)です。

\(n=1,2,3,……\)を当てはめると、
\(15n-2\)＝13, 28, 43, 58, 73, 88, 103, ……

よって、正解は６個です。

次は、これを「解法のポイント」で解きます。

「解法のポイント」で解く

３で割ると１余る
→１，４，７，１０，１３，１６，１９，２２，……

５で割ると３余る
→３，８，１３，１８，２３，……

これより、条件に合う最小の数は「１３」
割る数の最小公倍数は、３×５＝１５

よって、条件に合う整数は\(13+15n\)と表せます。

ここに、\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめて書き出すと、
\(13+15n\)＝13, 28, 43, 58, 73, 88, 103, ……

→正解は６個

例題３：「割る数＋余り」が等しいパターン

ふつうの解き方

このパターンは、条件に合う整数を「等しい和＋割る数の最小公倍数×\(n\)」と表すのが定石。
この例題の場合は、\(9+30n\)です。

\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめると、
\(9+30n\)＝９，３９，６９，９９，１２９， ……

９９と１２９なら、１００により近いのは９９ですね。
よって、正解は９９となります。

次は「解法のポイント」で。

「解法のポイント」で解く

５で割ると４余る
→４，９，１４，１９，２４，……

６で割ると３余る
→３，９，１５，２１，２７，……

これより、条件に合う最小の数は「９」
割る数の最小公倍数は、５×６＝３０

よって、条件に合う整数は\(9+30n\)と表せます。

ここに、\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめて書き出すと、
\(9+30n\)＝９，３９，６９，９９，１２９， ……

→正解は９９

例題４：共通点がないパターン

余りは異なるし、割る数と余りを足しても引いても一致しない。
こんなケースも解決できます。

そう、「解法のポイント」ならね。

「解法のポイント」で解く

９で割ると５余る
→５，１４，２３，３２，４１，５０，５９，……

１３で割ると１１余る
→１１，２４，３７，５０，６３，７６，……

これより、条件に合う最小の数は「５０」
割る数の最小公倍数は、９×１３＝１１７

よって、条件に合う整数は\(50+117n\)と表せます。

ここに、\(n=0,1,2,3,……\)を当てはめて書き出すと、
\(50+117n\)＝５０，１６７，２８４，４０１，５１８，６３５，７５２，８６９，９８６，１１０３， ……

→正解は８個

ちなみに。
割る数が大きい方の候補を書き出して小さい方で割っていく、というやり方もあります。
大きい方の候補の中から、小さい方の余りの条件に合う数を選び出すわけです。

この例題であれば、１３で割ると１１余る整数の候補を９で割っていき、５余る数を探します。

以上、余りをテーマにした整数問題の解き方の解説でした。

ここからは、過去問をもとに作ったオリジナルの演習問題を解きながら、「解法のポイント」の使い方を学んでいきます。

演習問題：割り算の余りの条件を満たす整数

整数の余り問題の３種詰め合わせセット。
「解法のポイント」を知ってれば、どのパターンかを見極める必要はありません。

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：余りの公式を立てて候補を書き出す

整数の余りに関する問題の出題パターンは主に３つ。
A,B,Cを分類すると、以下の通りになります。

• A→余りが等しい
• B→「割る数ー余り」が等しい
• C→「割る数＋余り」が等しい

「講義」の項で挙げた例題は条件（割る数）が２つでしたが、３つでも同じように解くことができます。

以下、A,B,Cを順に求めていきます。

A：最小数は「共通の余り」

このケースでは、「条件に合う最小の数」は余りそのもの、つまり２です。
「割る数の最小公倍数」は、５×６×４＝１２０

これより、公式は
A＝２＋１２０\(n\)

Aは「３けたの整数のうち、最大の数」。
候補を書き出すと、
２，１２２，２４２，３６２，４８２，６０２，７２２，８４２，９６２，１０８２，……

よって、A＝９６２

B：「（６余り４）かつ（８余り６）」を５で割り算

このケースでは、「条件に合う最小の数」を力技で探します。
後々のために、「５余り３」を残します。

６余り４→４，１０，１６，２２，２８，３４，……
８余り６→６，１４，２２，３０，３８，……

これより、「６余り４」であり、「８余り６」でもある整数は、次のように表せます。
２２＋２４\(n\)

この中から「５余り３」である数を取り出したものが、条件に合う整数です。
候補を書き出し、５で割ればOK。

「２２＋２４\(n\)」の候補を書き出すと、
２２，４６，７０，９４，１１８，１４２，……

これらを５で割ってみます。

	２２	４６	７０	９４	１１８	１４２
５余り	２	１	０	４	３	２

よって、Bの「条件に合う最小の数」は１１８です。

「割る数の最小公倍数」は、５×６×４＝１２０

これより、公式は
B＝１１８＋１２０\(n\)

Bは「３けたの整数のうち、小さい方から５番目の数」。
候補を書き出すと、
１１８，２３８，３５８，４７８，５９８，７１８，……

よって、B＝５９８

C：「５余り４」は後回しがラク

手順はBと同じ。
まずは「条件に合う最小の数」を力技で探します。
やはり、後々のために「５余り４」を残します。

６余り３→３，９，１５，２１，２７，３３，……
８余り１→１，９，１７，２５，３３，４１，……

これより、「６余り３」であり、「８余り１」でもある整数は、次のように表せます。
９＋２４\(n\)

この中から「５余り４」である数を取り出したものが、条件に合う整数です。

「９＋２４\(n\)」の候補を書き出し、５で割った余りを調べます。

	９	３３	５７	８１	１０５	１２９
５余り	４	３	２	１	０	４

よって、Cの「条件に合う最小の数」は９です。

「割る数の最小公倍数」は、５×６×４＝１２０

これより、公式は
C＝９＋１２０\(n\)

Cは「４けたの整数のうち、最小の数」。
候補を書き出すと、
９，１２９，２４９，３６９，４８９，６０９，７２９，８４９，９６９，１０８９，……

よって、C＝１０８９

以上より、A＋B＋C＝９６２＋５９８＋１０８９＝２６４９

よって、３が正解です。

おわりに：整数の余りは最小数と最小公倍数が大事

お疲れ様でした！

条件に合う最小の数＋割る数の最小公倍数×\(n\)
↑余りの問題には、この公式。

今回は、余りの条件を満たす整数を見つける問題でした。
典型的な３つのタイプが集約されています。
それぞれ毛色は異なりますが、全て「解法のポイント」の公式で対処できます。
万能調味料くらい便利なので、ぜひとも使いこなしてほしいと思います。

同じく整数問題で、「範囲をしぼってしらみつぶし」で解くものもあります。
こちらもかなり頻出なので、最後に紹介しておきます。

最後までお読みいただきありがとうございました。

本サイトでは、今後もこうした演習用の問題をアップしていく予定なので、ブックマークなどして気軽に訪れてもらえたらうれしいです。
また、運営のやる気UPと記事のクオリティアップにつながりますので、ご意見やご感想などありましたら、お気軽にコメントにてお知らせください！

この記事が参考になったら、ぜひシェアしてください！

Tweet

次回もお楽しみに！

略解