NEW!【国家一般職】食塩水の濃度には「てんびん図」。応用問題の解き方をていねいに解説【３種類の食塩水を混ぜた濃度】

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今回のテーマは……「てんびん図」

「てんびん図」とは、平均にまつわる問題の解き方の一つ。
主に、食塩水の濃度に関する問題を解くときに使うテクニックです。
２種類の食塩水を混ぜたときの濃度を、てんびんの図を書いて考える、というもの。

濃度のつり合いをてんびんに置きかえる、直感的に理解しやすい方法です。
しかも、慣れればこちらの方が簡単に解けます。

今回は、てんびん算を使った食塩水の濃度計算の解き方を、ていねいに解説します。
後半では、数的処理の過去問みたいな演習問題を解きながら、その使い方を学びます。

講義：食塩水の濃度をてんびん図で解く

てんびん図を使った解き方で、大事なのは以下の２ステップ。

そもそも「てんびん」とは、つり合いを調べる道具。
吊るしたおもりが、支える点の両側で同じ高さになるのを「つり合う」といいます。

てんびん図は、力のつり合いを利用した解き方のこと。
つり合う支点の左右で、回転の力を書き出し、＝（イコール）で結びます。

回転の力＝重さ×支点からの距離

簡単な問題を例に、具体的な使い方を説明します。

混ぜた濃度を\(x\)％とします。
すると、てんびん図は次のように書けます。

「回転の力＝重さ×支点からの距離」を使って、つり合いの式を作ります。

反時計回りの力：100 × (？ ー 8)
時計回りの力：200 × (10 ー ？)

てんびんがつり合う、とは、これらが等しいこと。

つまり、100 × (？ ー 8) ＝ 200 × (10 ー ？)
→ ？ ＝ ７％（答）

以上、てんびん図を使って食塩水の濃度計算を解く方法の解説でした。

ここからは、数的処理の過去問みたいなオリジナルの演習問題を解きながら、解法の使い方を学んでいきます。

演習問題：３種類の食塩水を混ぜた濃度

３種の濃度計算問題。
てんびん図をどうやって描きますか？

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：濃度（平均）の条件をてんびん図にする

食塩水の濃度の問題。
ということは、てんびん図が使えます。

• A、B、Cを全て混ぜ合わせた食塩水の濃度は７．７％
• AとCを混ぜ合わせた食塩水の濃度は５．４％
• Cの濃度がAの濃度の１．２倍

これらを使って、てんびん図を描きます。
定石通り、横棒の長さを濃度に、おもりの重さを質量に当てはめます。

食塩水A＋B＋C：おもり３つのてんびん図

まずは1つ目の条件「A、B、Cを全て混ぜ合わせた食塩水の濃度は７．７％」をてんびん図にします。

おもりが３つのパターンです。
が、考え方は同じ。
支点の左右で、「回転する力」のつり合いの式を立てます。

回転する力＝重さ×支点からの距離、です。

Aの濃度を\(x\)％、Bの質量を\(y\)とおきます。
すると、３つ目の条件「Cの濃度がAの濃度の１．２倍」より、Cの濃度は１．２\(x\)％。
混ぜ合わせた濃度を支点に置きます。

すると、

反時計回りの力：150 × (7.7 ー \(x\))
時計回りの力：100 × (1.2\(x\) ー 7.7) ＋ \(y\) × (10 ー 7.7)

つまり、

150 × (7.7 ー \(x\)) ＝ 100 × (1.2\(x\) ー 7.7) ＋ 2.3\(y\)
→２７０\(x\)＋２．３\(y\)＝１９２５…（＊）

未知数は２つなので、これだけでは解けません。
もう一つの条件を使います。

A＋Cの食塩水：濃度と質量のてんびん図

２つ目の条件「AとCを混ぜ合わせた食塩水の濃度は５．４％」で、式を立てます。

まずはてんびん図。
こっちはおもり２つのパターン。

おもりはAとC。
支点は混ぜ合わせた濃度です。

すると、

反時計回りの力：150 × (5.4 ー \(x\))
時計回りの力：100 × (6 ー 5.4)

つまり、

150(5.4ー\(x\)) ＝ 60
→\(x\)＝５％

あとは、これを（＊）に代入して解けば、
\(y\)＝２５０g

よって、４が正解です。

おわりに：濃度計算はてんびん図で理解する

お疲れ様でした！

食塩水の濃度計算は、てんびん図で解くと分かりやすい。

（１）濃度を横棒の長さに、質量をおもりの重さに当てて図を書いて、
（２）「回転の力＝重さ×支点からの距離」でつり合いの式を立てて解く

です。

今回は、３種類の食塩水を混ぜ合わせる濃度計算の問題でした。
横棒に濃度、おもりの重さに質量を当てて、てんびんのつり合いを式にします。
おもりが３つでも、式の立て方は同じ。
回転の力を書き出して、（反時計方向）＝（時計方向）です。

食塩水の濃度計算は、過去にも何度か紹介しています。

一般的な方程式の解き方はこちら。

最後までお読みいただきありがとうございました。

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