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「解法のポイント」はないこともある、かもしれない
今回のテーマは……「確率（＆場合の数）」
確率で、同じ操作を繰り返す、という設定は定番中の定番。
確率の世界では、繰り返しの操作を「反復試行」といいます。
反復試行の確率を解くためのカギは2つ。
独立と数え上げ
本サイトの「解法のポイント」でいうと、数え上げと確率から確率をどっちも使うパターンです。
旅先でソフトクリーム食べるとき絶対ハーフ選んじゃう
今回は、反復試行の確率の解き方を、数的処理の過去問みたいな演習問題を使って解説します。
演習問題：あたりくじを4本以上引く確率
あたりくじとはずれくじが1本ずつ入った6つの箱がある。いま、いずれかの箱にはずれくじを1本だけ加え、全ての箱から1本ずつくじを引くとき、あたりくじを4本以上引く確率はいくらか。
- \(\frac{11}{24}\)
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{13}{24}\)
- \(\frac{5}{8}\)
- \(\frac{7}{24}\)
５
くじを引く、という操作を6回繰り返します。
＝反復試行の確率の問題
以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。
おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者
おそすぎる自己紹介
それでは、解説スタート！
解説：独立の確率はかけ算、排反は足し算
あたりくじが4本以上、というのは、次のいずれかです。
計6本のうち、あたりが
(i)6本
(ii)5本
(iii)4本
(i)～(iii)は同時に起こることはない（＝互いに排反）ため、分けて扱う必要があります。
(i)～(iii)の確率を別個に求めて足し合わせる、という方針が浮かびます。
排反は足し算で
また、各回のくじの結果は次の結果に影響しません。
→2箱目があたりだろうがはずれだろうが、3箱目の確率は変わらない（＝互いに独立）
つまり、(i)～(iii)の各パターンの確率は、各箱のあたりの確率をかけ算したものになります。
(i)あたり6本：独立のかけ算→確率\(\frac{1}{96}\)
あたりくじとはずれくじが1本ずつなら、あたりの確率は各箱とも\(\frac{1}{2}\)
ただし。
はずれを1本加えた箱（Aとします）だけ、あたりの確率は\(\frac{1}{3}\)
各箱は独立、ということで、確率のかけ算です。
→\(\frac{1}{2}\)を5回、\(\frac{1}{3}\)を1回をかけ合わせます
5倍じゃないよ、5乗だよ
(ii)あたり5本：Aの結果で場合分け→確率\(\frac{7}{96}\)
はずれ1本がAから出るのか否か、で状況が異なります。
Aではずれの確率は\(\frac{2}{3}\)、それ以外はあたり（確率\(\frac{1}{2}\)）なので、
A以外の箱ではずれを引く確率は、いずれの箱も\(\frac{1}{2}\)
そして、A以外の箱を区別すると、「どの箱からはずれを引くか？」も考える必要があります。
⇒はずれのパターンを数え上げてかけ算
5箱をP～Tと区別すると、はずれの箱の選び方は5通りなので、
(ii-a)と(ii-b)は同時に起こらない（＝排反）ので、あたりを5本引く確率は
\[
\frac{2}{96}+\frac{5}{96}=\frac{7}{96}
\]
(iii)あたり4本：はずれ2本は組み合わせで→確率\(\frac{20}{96}\)
ここも、Aではずれを引くか否か、を分けて考えます。
Aではずれを引く確率は\(\frac{2}{3}\)
A以外は、はずれ1箱＆あたり4箱（いずれも確率\(\frac{1}{2}\)）となればOK。
はずれの箱の選び方は5通りなので、
\[
\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×5×\frac{2}{3}=\frac{10}{96}
\]
Aであたりを引く確率は\(\frac{1}{3}\)
A以外は、あたり3箱＆はずれ2箱（いずれも確率\(\frac{1}{2}\)）
箱を区別する場合のはずれの箱の選び方は、5箱から2箱とる組み合わせの数で10通り。
A以外の2箱からはずれを引く確率は、
(iii-a)と(iii-b)は同時に起こらないので、あたりを4本引く確率は、
\[
\frac{10}{96}+\frac{10}{96}=\frac{20}{96}
\]
(i)～(iii)も、同時に起こらないので足し合わせます。
あたりを4本以上引く確率は、
\[
\frac{1}{96}+\frac{7}{96}+\frac{20}{96}=\frac{28}{96}=\frac{7}{24}
\]
以上より、５が正解です。
おわりに：反復試行の確率には、独立＆数え上げ
お疲れ様でした！
繰り返しの確率を解くカギは、独立と数え上げ
本問の（というか反復試行の）確率をごく単純化すると、次のようになります。
（特定の箱からはずれを引く確率）×（箱の選び方）
あたりの箱が決まっていれば、各箱の確率は独立なので、確率同士のかけ算で求められます。
箱の固定を解くと、箱の選び方の数だけ正解のパターンが増えるので、数え上げてかけ算します。
繰り返しの操作の確率には独立と数え上げ、という回でした。
以下、参考。
確率のパターン（解法のポイント）を学ぼう↓
やさしめ
近所の人懐っこい野良猫に会いたいけどあまり見かけない
タウンマップに表示してくれればいいのに
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