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「解法のポイント」はないこともある、かもしれない
今回のテーマは……「整数」
整数ってスゴイんです。
「整数である」という条件があるだけで、たった一つの式から2つ3つの未知数がわかっちゃうことも。
普通は未知数と同じ数だけ式が必要になる
ともかく。
整数問題の解き方には一定のパターンがあるって知ってますか？
整数、という数の性質をテーマとする以上、問題のバリエーションにも限りがあるからです。
整数問題を攻略するコツは、定番の解き方を知ること。
今回は、約数を使うパターンをピックアップ。
大事なのはこれ↓
（A式）×（B式）＝整数
この形に表せば、約数のペアを書き出してしらみつぶしできるよね、という考え方です。
今回も、数的処理の過去問みたいな問題を使って、定番の解き方を学びます。
中学数学の知識があればイケる
演習問題：約数を利用した整数問題
次の式を満たす整数\(a,b,c\)について、\(a+b+c\)はいくらか。
ただし、\(0<a<b<c\)とする。
\[
a^2b^4+4a^2b^2+4a^2-c^2-105=0
\]
- 7
- 8
- 11
- 14
- 17
２
実質的に\(a,b,c\)を求めよ、という問題。
与えられた式をじっと眺めてみると……？
以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。
おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者
おそすぎる自己紹介
それでは、解説スタート！
解説：因数分解で「約数×約数＝整数」に持ち込む
\(a+b+c\)を求めよ、という問題。
単純に考えれば、\(a,b,c\)がいくつなのかが分かればOKです。
しかも、条件に注目。
“整数\(a,b,c\)について、～。ただし、\(0<a<b<c\)とする”
これ、もう「\(a,b,c\)を求めて」って言わんばかりでしょ？
はっきり言えばいいのに、素直じゃないんだから
整数の重要な性質の一つが、「約数」
登場人物が全て整数なら、【（A式）×（B式）＝整数】の形はすなわち「A式（or B式）＝約数」
本問も、次の式を変形して【（A式）×（B式）＝整数】の形を作り出します。
みんな大好き「因数分解」を使います。
\[
a^2b^4+4a^2b^2+4a^2-c^2-105=0……(☆)
\]
因数分解が、お好きでしょ♪（？）
以下、【（A式）×（B式）＝整数】を念頭に置きながら式変形していきます。
因数分解の定石その1：共通因数でくくる
因数分解は、まず共通因数でくくること。
次数（右肩に乗ってる数）が少ない文字に注目すると、大抵うまくいきます。
式☆であれば、次数が少ないのは\(a\)。
\(a^2\)でくくってみます。
因数分解の定石その2-1：公式を使う
因数分解で次に考えることは、公式を使うこと。
必死におぼえた因数分解の公式を思い出し、「使えるものはないかな～？」と探します。
（☆1）をじーっと眺めますと……
\(a^2\)でくくったカッコ内！！
公式(ii)が！！！
使えるんです！！！！
なんだこのテンション
因数分解の定石その2-2：平方（2乗）の差に注目
さて、目標は【（A式）×（B式）＝整数】の形を作り出すことでした。
（☆2）はまだこの形ではありません。
ということは、、、
さらに因数分解をする必要があります。
共通因数はムリってことで公式を使う
再び式をじーっと眺めます。
2乗の差に気づいてほしい。
公式(iv)を使ってさらに因数分解できます。
「（A式）×（B式）＝整数」の形になりました
候補を書き出す：2つの｛｝は105の約数
A式＆B式は105の約数です。
「A式 ＞ B式」に注意すれば、A式＆B式を次のように書き出せます。
\(c\)を足したもの(＝A)の方が引いたもの(＝B)より大きい
全パターンをしらみつぶし
各パターンそれぞれで、「A＝～」と「B＝～」を辺同士足し合わせます。（\(c\)を消去）
上から順に、\(a(b^2+2)=53, 19, 13, 11\)
いずれも素数なので、\(a=1\)
よって、\(b^2+2=53, 19, 13, 11\)
→\(b^2=51, 17, 11, 9\)
このうち、2乗を取り払って整数になるのは9だけ。
→\(b=3\)
このとき、(A式, B式)＝(15, 7)
つまり、\(a(b^2+2)+c=15\)
→\(c=4\)
これより、\(a+b+c=1+3+4=8\)
以上より、２が正解です。
おわりに：整数には書き出し＆しらみつぶし
お疲れ様でした！
整数問題には定番の解き方があります。
その一つが、約数を利用して解くやり方。
今回は、因数分解を使って【（A式）×（B式）＝整数】の形を作って解く問題でした。
この形ができれば、あとは約数のペアを書き出してしらみつぶしできます。
【（A式）×（B式）＝整数】を作って約数に持ち込む、という解き方はぜひ覚えてください。
整数問題には、このほかにも定番の解き方があります。
以下の記事も参考に。
「範囲→書き出し→しらみつぶし」の3ステップ↓
余りの問題の解き方↓
自動洗浄のトイレ行くと座ってないのに水流れるよね
これがVIP待遇ってやつ？
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