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「解法のポイント」はないこともある、かもしれない
今回のテーマは……「？？」
箸休め的なゆるい回です。
よって、今回は「解法のポイント」はありません。
…というのはウソ。
ウソなんかい
既知の解き方と結びつけて理解する
解法、というよりは勉強のコツです。
ぜひ普段の学習に活かしてください。
演習問題：彗星の周期性
彗星の中には、楕円形の公転軌道を持ち、特定の周期で観測されるものがある。彗星の周期をXとしたとき、[X]※=15なる彗星（\(C_{15}\)とする）、および[X]※=19なる彗星（\(C_{19}\)とする）はそれぞれ9種類、4種類存在することが分かっている。これらの彗星は必ず一定の周期で現れ、かつ同年内に消滅するものとする。また、１年のうちに現れる彗星は、\(C_{15}\)および\(C_{19}\)でそれぞれ１種類ずつのみであるとする。すなわち、同じ年に２種類以上の\(C_{15}\)（または\(C_{19}\)）が現れることはないが、\(C_{15}\)および\(C_{19}\)が１種類ずつ現れることはあり得る。
いま、2024年以降に初めて\(C_{15}\)および\(C_{19}\)が現れる年は次の通りであるとする。
\(C_{15}\)：2024年、2027年、2028年、2032年〜2037年の各年
\(C_{19}\)：2027年、2030年、2031年、2033年
2024年〜232３年の300年間に、\(C_{19}\)のみが現れる年はいくつあるかを次のように考えたとき、空欄に当てはまるものの組み合わせとして正しいのはどれか。
「\(C_{19}\)は各種それぞれ19年に1回ずつ現れるから、2024年〜232３年の300年間に\(C_{19}\)のいずれかが現れる年は『 A 』回ある。一方、\(C_{15}\)のある種類と\(C_{19}\)のある種類がともに現れる年は種類ごとに285（＝１５×１９）年に1回であるから、2024年〜232３年の間に\(C_{15}\)と\(C_{19}\)がともに現れる年は全部で『 B 』回ある。よって、\(C_{19}\)のみが現れる年は『 C 』回である。」
※[X]は、Xを超えない最大の整数を表す。
例：[15.8]=15
| A | B | C | |
| 1. | 60 | 36 | 24 |
| 2. | 60 | 38 | 22 |
| 3. | 64 | 38 | 22 |
| 4. | 64 | 38 | 18 |
| 5. | 64 | 40 | 18 |
３
彗星の周期性をテーマにした問題。
空欄を一つずつ埋めていきます。
以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。
おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者
おそすぎる自己紹介
それでは、解説スタート！
解説：割り算で数えて共通部分を引く
問題文の空欄を一つずつ埋めていきます。
「\(C_{19}\)から『\(C_{15}\)かつ\(C_{19}\)』を引くことで、\(C_{19}\)のみの年を数える」
というのが全体の流れです。
ベン図にするとこんな感じ↓
A：19年周期の回数×種類
\(C_{19}\)は19年周期で現れるので、300年の中に19年のカタマリがいくつ入るかを数えます。
つまり、割り算です。
300÷19=15…15
これより、\(C_{19}\)は種類ごとに15回現れます。
\(C_{19}\)は4種類あるので、いずれかが現れる年は
15×4=60より、300年間に60回
…とするのは【誤り】です。
結論から言うと、正しくは
(15+1)×4=64（回）……A
次の図を見てください。
この図では、\(C_19\)が現れる年を、次のように整数\(n\)を使って表しています。
\[
2027+19n \\
2030+19n \\
2031+19n \\
2033+19n
\]
余りの扱いがミソ。
実は、300÷19の商「15（回）」にはこの「余り」がカウントされていません。
なので、\(C_{19}\)が現れる回数は、余りの１ブロックを追加した16回（１種類あたり）となります。
これは４種類全てに当てはまるので、(15+1)を４倍して64回です。
小学校で習う「ベンチの問題」を思い出してください。
「10人がけのベンチに32人が座るとき、ベンチはいくつ必要か？」ってやつね
この場合、３脚（＝32÷10の商）だと２人が座れません。
あぶれた２人のためのベンチが必要なので、(3+1)脚が答えになりますね。
本問も、考え方はこれと同じ。
前に見た簡単な問題に結びつけて理解する、というのをやってくと、初見の問題に対処する力が付いてきます。
どこかの記事でも触れましたが、めっちゃ大事なことなので「解法のポイント」としておきます。
既知の解き方と結びつけて理解する
B：300年→（15＋285）年と考える
次に、
“\(C_{15}\)のある種類と\(C_{19}\)のある種類がともに現れる年は種類ごとに285（＝１５×１９）年に1回”
について。
これは、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)のある一組が285年周期で現れることを述べてます。
もう少し詳しくいうと、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)の特定の組み合わせが同時に現れるのは、285年のうちに1回のみである、ということです。
このことを利用し、2024年〜232３年の300年間を次のような2区間に分割して考えます。
（i）2024年〜2038年
（ii）2039年〜232３年
（15＋285）年という分け方がミソ。
２８５年の区間では、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)のペアは１回ずつしか現れない（＝２８５年周期）ため、組み合わせのパターン数がそのまま回数となります。
こうすると、組み合わせの考え方で機械的にカウントできるわけです。
(i)の１５年間は直接数えればいい
（i）2024年〜2038年：直接数える
「2024年以降に初めて〜」の箇所を見ればOK。
\(C_{15}\)：2024年、2027年、2028年、2032年〜2037年の各年
\(C_{19}\)：2027年、2030年、2031年、2033年
これによると、この区間で\(C_{15}\)と\(C_{19}\)が同時に現れる年は2回。
2027年と2033年ね
（ii）2039年〜232３年：組み合わせを数える
すでに述べた通り、この区間では\(C_{15}\)と\(C_{19}\)の組み合わせの数を数えればOK。
それぞれ9種類、4種類あるので、9×4＝36回
2024年〜232３年では、2＋36＝38（回）……B
C：全体から共通部分を引く
冒頭で述べた通り、\(C_{19}\)全体から「\(C_{15}\)と\(C_{19}\)の年」を引きます。
つまり、AーB＝60ー38＝22（回）……C
以上より、３が正解です。
おわりに：過去に見た解き方と関連付ける
お疲れ様でした！
問題演習で解説を読むときは、
「過去に見た解き方と関連付けられないか？」
という点に注意を向けてみてください。
偉そうに言ってるけど、途中で思いついて後付けしただけです。
正直でよろしい
今回は彗星が現れる回数を、誘導にしたがって数える問題でした。
集合論的な考え方をベースに、個々の空欄は周期性に基づいて考える必要があります。
誘導にしたがえばOK。
問題文が近年まれに見るほど長ったらしいのは仕様です。
これでも元ネタよりは少ないのよ
悲しいときー懇親会で持ち帰ったビンゴの紙を家で捨てるときー
昨日会社の懇親会がありました
最後までお読みいただきありがとうございました。
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略解
C19が現れる回数は商＋１
図では、\(C_19\)が現れる年を、次のように整数\(n\)を使って表している。
\[
2027+19n \\
2030+19n \\
2031+19n \\
2033+19n
\]
図のように、\(C_{19}\)は種類ごとに15＋１回現れる。
\(C_{19}\)は4種類あるから、いずれかが現れる年は
(15+1)×4=64（回）……A
次に、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)の特定の組み合わせが同時に現れるのは、285年のうちに1回のみである。
よって、2039年〜232３年の285年間に\(C_{15}\)と\(C_{19}\)が同時に現れる回数は、\(C_{15}\)と\(C_{19}\)のペアの総数に等しく、9種類×4種類＝36回
さらに、2024年〜2038年では\(C_{15}\)と\(C_{19}\)が同時に現れる年は2027年と2033年の2回ある。
よって、2024年〜232３年では、2＋36＝38（回）……B
\(C_{19}\)のみの年の回数は、\(C_{19}\)から「\(C_{15}\)かつ\(C_{19}\)」を引けばよい。
つまり、AーB＝60ー38＝22（回）……C
よって、３が正解である。
コメント
Aの値を考える場合は 300÷15＝15…15 ←の余り(15)の部分に注意する必要があります。
2027年のC19が現れる年は 2027+19n （nは0以上の整数）と表記でき
nに15を入れると 2027+19×15＝2312 となり 2024年～2323年までに16回現れます
2033のC19も 2033+19×15＝2318 となり16回現れます
よってAの値は 4×15+4＝64になります
要するに余りの15年間の間にもう一回現れる事があると言うことです
2024年～2038年までに現れるC19が余りの年数の間にもう一回現れます
上の
「Aの値を考える場合は 300÷15＝15…15」 は
「Aの値を考える場合は 300÷19＝15…15」 の間違いです
今回もご指摘ありがとうございます！
余りの扱いは盲点でした。
昔習った「ベンチの問題」と同じですね。
おかげさまで中身のある記事ができました。
大変勉強になり、感謝いたします。