子供会で配られたお菓子

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前回は、正六角形の中にある正三角形の共通領域の面積を求める問題をやりましたね。
昨日でも、1週間前でも、解いたときのことを思い出してみてください。
知識の定着には、繰り返すことが最も効果的です。
忘れてしまった方は、一度戻ってみることをおすすめします。
勉強したことを使いこなすには、まずは記憶することが第一歩になるので、日常のちょっとしたスキマ時間に脳内で復習することを習慣化しましょう！
復習がバッチリな方は、本日の問題へ参りましょう。

本日の演習問題

全ての発言が必ずしも正しいとはいえない、いわゆる「うそつき問題」です。
うそつき問題は、誰かの発言が正しい（または間違っている）と仮定して、他の発言との間に矛盾が生じるかどうかを調べるのが基本になります。
以下で詳しく解説します。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。

それではスタート！

詳しい解説

うそつき問題は、とりあえず誰かの発言を正しい（または間違っている）と仮定して、矛盾が生じるかどうかを検討するのが基本です。

この問題では、誰の発言を正しいと仮定するのがいいでしょう？

初手では、Cの発言に注目するのがおすすめです。
Cの発言の「私とDが食べたお菓子の個数は合計で３個」という部分を正しいと仮定すると、CとDが食べた個数はそれぞれ1個、2個であることが確定するからです。

	もらった個数	食べた個数	残った個数
A
B
C		1
D		2

Dが食べた個数が2個であるということは、Dの発言は間違っていることになります。

「Bはすでにお菓子を２個食べています。また、Cのお菓子は残り３個ではありません。」
→「Bはすでにお菓子を1個食べています。また、Cのお菓子は残り３個です。」

これより、Cがもらった個数は1+3=4個となりますね。
また、Bの発言、「Aのお菓子はあと４個残っています」は正しいことになります。

	もらった個数	食べた個数	残った個数
A			4
B		1
C	4	1	3
D		2

これにより、Dのもらった個数は7個と決まります。
どういうことか？
Cがもらった個数が4個なので、Dがもらった個数は5個、6個、7個のうちのいずれかです。
ところが、Dが食べた個数は2個なので、
「帰り際に４人が持っていたお菓子の残数は、４人ともそれぞれ異なっていた」
という条件から、7個に決まります。（5個または6個だと残った個数がAやCとカブってしまいます）

	もらった個数	食べた個数	残った個数
A			4
B		1
C	4	1	3
D	7	2	5

ここで、Bがもらった個数は5個または6個ですが、食べた個数が1個の場合、これらはいずれも「帰り際に〜」の条件を満たしません。（5個ならAと、6個ならDと残った個数がカブります）

よって、「Cの発言が正しい」という前提条件は間違っていたことになります。

ここからは「Cの発言は間違いである」として議論を進めます。

Cの発言が間違っているとき、発言の内容はどう変わるでしょうか？
4人は少なくとも1個、お菓子を食べているので、CとDが食べた個数が「3個ではない」とすると、
2個（＝C、Dとも発言は正しい）または4個（＝C、Dとも発言は間違い）のいずれかです。
Cの発言は間違っていることは確定しているので、CとDが食べた個数は4個だったと分かりますね。

「私とDが食べたお菓子の個数は合計で３個です。」
→「私とDが食べたお菓子の個数は合計で4個です。」

このあと、「Dの発言が間違いであることから、Bの発言が正しい」というところまでは同じです。

	もらった個数	食べた個数	残った個数
A			4
B		1
C	5	2	3
D		2

ここでAに注目すると、食べた個数は1個または2個なので、残った個数はそれぞれ5個または6個ですが、Cがもらった個数が5個と決まっていることより、Aが食べた個数は2個で、もらった個数は6個と決まります。

	もらった個数	食べた個数	残った個数
A	6	2	4
B		1
C	5	2	3
D		2

次にBについて、もらった個数は4個または7個のいずれかですが、4個だと残った個数が3個になりCとカブるので、Bがもらった個数は7個で、残った個数は6個です。
これにより、Dがもらった個数は4個で、残った個数は2個と決まり、表が完成します。

	もらった個数	食べた個数	残った個数
A	6	2	4
B	7	1	6
C	5	2	3
D	4	2	2

よって、３が正解です。

おわりに

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

発言の正誤が不明な中でお菓子の個数を明らかにする問題でした。
発言の正誤を、数値的な制約も考慮しつつ判断しなければならない点に難しさがあったと思います。
ただ、うそつき問題の定石的な解法である、「発言が正しいと仮定する」という解き方は本問にも有効です。
過去問レベルの問題でも、解き方のベースにあるのは参考書で勉強した内容になります。
問題演習で経験を積む段階になったら、解いた問題に対し「参考書のどの問題に似ているのか」の分析をしてほしいと思います。
（作ったファイルをフォルダに分けて整理するイメージです）
過去問であれば傾向も分かりますし、すでに解いた問題と紐付けることで復習もしやすくなります。
例えば参考書のAという問題を見るだけで、「あの年にも似た問題があって、解き方はこうだったな〜」と連鎖的に思い出すので、一問の復習で数問分の学びを得ることができます。
参考書の問題のページに付箋を貼って、「○○年に出題あり　お菓子の個数を求める問題」などとメモとして思い出すきっかけを残すのもよいでしょう。
せっかく問題演習をするなら、なんとなく解いて終わるのではなく、既存の知識と結び付けて記憶する、というところまでやってしまいましょう！

本サイトでは、今後もこうした演習用の問題をアップしていく予定なので、ブックマークなどして気軽に訪れてもらえたらうれしいです。
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次回もお楽しみに〜

略解