【国家一般職】知らないとヤバい！？正多面体の面・頂点・辺の数え方【切頂十二面体の面・頂点・辺の数】

こんにちは。初めましての方は初めまして。ご覧いただきありがとうございます！
本サイト、「数的処理の穴場」を運営しておりますモクセイと申します。

今回のテーマは「空間図形」です。
例年、１問は必ず出題されています。
おそらくこれは今後も変わらないでしょう。

そんな空間図形で頻出なのは、「断面」と「展開図」です。
これらの解き方は以下の記事で扱っているので、参考にどうぞ。

演習問題：切頂十二面体の面・頂点・辺の数

切頂十二面体と呼ばれる多面体の問題です。
公式を知らずに解くのは難しいでしょう。
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：正十二面体の面・頂点・辺を数えてから切り落とす

正十二面体の頂点を切り落としてできる立体は「切頂十二面体」といいます。
切り落とすことによる面・頂点・辺の増減は簡単に分かります。
そこで、まずもとの正十二面体の面・頂点・辺の数を求めてから、切り落としによる増減を加味することとします。

正十二面体の面・頂点・辺の数は？

最も簡単な方法は、数え上げること。
おあつらえ向きに、立体図が与えられているではありませんか。

…裏側をイメージする段になって、筆者は諦めたようです。
正十二面体ともなると、いくら図が与えられているとはいえ、直接数え上げるのは困難です。

直接数え上げるのが無理なら、計算で求めるしかありません。
図によると、正十二面体は正五角形の面から成り立ってるのがヒント。

まず、面の数は言うまでもなく１２です。
では頂点の数は？

うーん、当たらずとも遠からず。
１２の面が合体して一つの頂点を共有するので、６０よりも少なくなります。

正十二面体では３つの面が一つの頂点を共有するので、３で割った２０が正しい頂点の数です。

辺の数も同じ考え方で分かります。
辺の場合、５×１２＝６０ある辺が２つずつ重なって立体となるので、２で割って３０が正しい数です。

ここまでをまとめると、正十二面体では、
面：１２　頂点：２０　辺：３０

以上の求め方は一般にもよく知られた方法なので、これを「解法のポイント」としてまとめておきます。

あとは、ここに頂点を切り落としたときの変化を加味するだけ。
一つの頂点を切り落としたときの変化を２０の頂点に当てはめればOK。

切り落としによる面・頂点・辺の数の変化を２０倍

正十二面体の頂点を切り落とすことによる面・頂点・辺の数は次のように変化します。

面：＋１
頂点：＋２（１→３）
辺：＋３

これと同じ変化が、頂点の数（＝２０）だけ起こるので、切頂十二面体の面・頂点・辺の数は次のように求められます。

面：１２＋１×２０＝３２
頂点：２０＋２×２０＝６０
辺：３０＋３×２０＝９０

以上より、３が正解です。

おわりに：正多面体の面・頂点・辺の数は公式で

お疲れ様でした！

今回は、切頂十二面体の面・頂点・辺の数を問う問題でした。
正多面体の面・頂点・辺の数はありがちなテーマなので、「解法のポイント」は覚えましょう。
丸暗記でもいいですが、「なぜそうなるのか」が重要です。

なお、立体の図はいつも与えられるとは限らないので、正多面体の面の形は常識として知っておく必要があります。
最後にまとめておきます。

正四面体	正三角形
立方体	正方形
正八面体	正三角形
正十二面体	正五角形
正二十面体	正三角形

最後までお読みいただきありがとうございました。

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