反射する光が通る道筋の長さ

こんにちは。初めましての方は初めまして。ご覧いただきありがとうございます！
本サイト、「数的処理の穴場」を運営しておりますモクセイと申します。

前回は、最短ではない経路の本数を数える問題をやりましたね。
場合の数では定番の、経路数を数える問題です。
基礎的な解法が身に付いているか、力試ししませんか？
もう解いた方も、時間をおいて再度チャレンジすることをおすすめします。
復習のやり方として、解説を眺めるだけの勉強法も悪くないですが、もう一度手を動かして1から解いてみるのがベターです。
実際にやり直してみると、なかなか正答に至らないケースも多いでしょう。
解き直しで手詰まったら成長のチャンスです。
「なぜ手詰まったのか？」を自分なりに分析したら、その原因を解消できるように解説を読み込みましょう。
こうすることで、解法に対する「新しい解釈」が得られ、他の問題に応用が利きやすくなります。
本番で同じ解法を使う問題が出たら、ぜひとも得点したいですよね。
解き直しで知識を定着させ、「解ける問題」を増やしていきましょう！

復習がバッチリな方は、本日の問題へ参りましょう！

本日の演習問題

光の反射の問題です。
（入射角）＝（反射角）をどう利用するかがポイント。
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。

それではスタート！

詳しい解説

（入射角）＝（反射角）

であるならば、正方形の各辺をセンターにした線対称の鏡像を考えれば、光路を「折れ線」ではなく「直線」として捉え直すことができます。
もう少し詳しく言うと、次図のように、対称移動による「反射角のコピー」と入射角が対頂角の関係にあり、これらが等しいので、入射光と「反射光のコピー」は直線となります。

この対称移動を各反射点に対して行うことにより、最終的には点A、B、C、D、Eが一直線上に並びます。
これを利用しましょう。

まず、点Bを含む辺に関する線対称を考えます。

図のように展開すると、線分BCのコピーは線分BC’であり、3点A、B、C’が一直線上に並びます。

次に、点Cを含む辺に関する線対称ですが、こちらは点C’の線分に関して展開すればよいですね。

展開すると、線分C’D’（＝CD）は線分C’D”へコピーされ、4点A、B、C’、D”が一直線上に並びます。

あとは点Dの辺に関する線対称ですが、同じように、点D”の線分に関して展開すればOKです。

線分D”E”（＝DE）は線分D”E”’にコピーされ、5点A、B、C’、D”、E”’が一直線上です。

この直線の長さを求めるには、次図のような直角三角形AHE”’を考えます。

AE=A”E”’=\(\frac{5}{7}\)であったことを思い出すと、AH=\(\frac{19}{7}\)
三平方の定理より、AE”’\(=\sqrt{(\frac{19}{7})^2+2^2}=\frac{\sqrt{457}}{7}\)

よって、３が正解です。

おわりに

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

反射の法則を使って、光がたどった経路の長さを求める問題でした。
「線対称で展開して直線にする」という発想を、何もないところから生み出すのは難しいと思います。
なので、解けなかった方もあまり落ち込まなくて大丈夫です。
ただし、本番で同じような問題が出たときのために、こういう解き方もあるんだ、ということは知っておきましょう。

平面図形は数的処理の中でも大きな分野の一つなだけに、狙われやすい分野でもあります。
ありがちなのは面積を問う問題で、主に公式を使うパターンと相似比を使うパターンがあります。
本サイトでも何回か扱っているので、よかったらのぞいてみてください！

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次回もお楽しみに！

略解