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「解法のポイント」はないこともある、かもしれない
今回のテーマは……「平面図形の回転移動」
平面図形の回転移動って難しい。
「回転をうまくイメージできなくてもういいやってなる」
そんな人も多いはず。
図形を丸ごと動かそうとすると、頭がこんがらがってパニックに。
実は、平面図形の回転でカギを握るのは図形そのものではなく「点の移動」なんです。
特に、通過領域を捉える上で「絶対に」意識したいのが
中心から最も遠い点
今回は、平面図形の回転移動を扱った問題を【世界一ていねいに解説】します。
いつものように、国家一般職の過去問をもとに作ったオリジナル問題を出題。
演習問題：おうぎ形が通過する領域の面積
図のように、半径6、中心角60°のおうぎ形OABを、Bを中心として辺OBが水平となるように時計回りに回転させる。このとき、斜線で示す領域の面積はいくらか。ただし、円周率は3とする。
- \(\frac{27}{4}\)6.8
- \(9\)
- \(\frac{55}{6}\)9.2
- \(\frac{28}{3}\)9.3
- \(12\)
おうぎ形そのものの回転をイメージする必要はありません。
むしろ「点」の移動を思い描いてほしい。
それでは、解説スタート！
解説：点Aの道筋を弧とするおうぎ形の面積
問題文にある通り、回転の中心は点B。
すると、「中心から最も遠い点」は点Aになります。
→点Aの移動に注目
OBが水平になるので、回転角は30°←ここも重要
回転移動によって、それぞれ
O → O’
A → A’
と移るとします。
点Aの道筋は曲線AA’。
回転移動なので、AA’は円弧になります。
→
（扇形BAA’を作るために）目的を持って補助線を引く
補助線BAおよびBA’を引く。
斜線部とこのおうぎ形をよ～く見比べてください。
何かに気づきませんか？
そうです。
このおうぎ形BAA’（バアア）こそが、斜線部の面積に他ならないんです。
ババアじゃない、「バアア」ね？
おうぎ形バアア（BAA’）には、余分な白い部分（青太線）も入ってる。
上のアイスクリームみたいな部分（オレンジ太線）もあるし、ぜんぜん同じに見えないよ
そう思うでしょう？
でもこの2つ、一致します。
だって、余分な部分を回転移動したものがアイスクリームだからです。
差し引いたあとに同じものを足すなら、結局はプラマイゼロなので、アイスクリームも含めた斜線部の面積は扇形バアア（BAA’）に一致します。
食後のアイスを余分と申すか。戦じゃ
つまり、半径6中心角30°のおうぎ形の面積を計算すればOK。
\[
6×6×3×\frac{30°}{360°}=9
\]
よって、２が正解です。
おわりに：回転移動は「最も遠い点」を追え
お疲れ様でした！
回転移動する平面図形の通過領域では、中心から最も遠い点の動きが重要。
本問では、中心Bから最も遠い点であるAの移動を考えると、求める面積に等しいおうぎ形バアア（BAA’）が見えてきます。
回転移動する図形が描く軌跡については、過去に詳しく解説した記事がありますので、そちらも参考にしてください。
このほか、数的処理の穴場では、平面図形の問題をたくさん紹介しています。
平面図形の過去記事はコチラ。
トップバリュの業務用アイスおいしいよ
クッキークリームを一人でむさぼり食ってる
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