NEW!【国家一般職】転がる図形の軌跡はイメージが大切。この３つを意識して【転がる棒が通過するエリアの面積】

こんにちは！
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。

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ぜひ最後まで読んでいってください。

今回のテーマは……「軌跡（平面図形）」

軌跡はイメージが大切。
移動する点なり、図形なりの動きを正しく捉えることが必要です。

以前、回転する図形をイメージするコツを紹介しました。

このポイントが有効なのは、点の軌跡だけではありません。
線や図形の移動を考える場合にも有用です。

今回は、回転移動の軌跡をイメージしやすくする「解法のポイント」を、数的処理の過去問みたいな演習問題を使ってレクチャーします。

演習問題：転がる棒が通過するエリアの面積

通過領域の面積の問題。
形をイメージすること。

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：ステップごとの中心＆半径＆回転角を知る

面積を求めるなら、まずは通過領域がどんな形かを知る必要があります。

Q：どうやって？
A：描いてみるしかありません。

滑らずに転がる軌跡の「解法のポイント」を意識して、回転の様子をイメージします。

ふつう、軌跡といえば点の移動ですが、動くものが線や図形であっても考え方は同じ。

回転移動のステップは、回転の中心や半径が変わるタイミングで区切るのがセオリー。
中心や半径が変わらない間は扇形（円弧）なので、面積や長さを計算できる、というわけです。

この観点によると、本問は３つのステップに分けることができます。
説明のため、棒の左端をA、右端をB、中点をPとします。

Step１：点Pを中心とする９０°回転

点Pを中心に転がって、垂直な壁にくっついて止まる動きをイメージします。
半径PAの９０°回転で、扇形の通過領域ができます。

この間の通過領域の面積は、

\[
\pi × 2 × 2 × \frac{90}{360} = \pi……（\mathrm{i}）
\]

Step２：点Bを中心とする１２０°回転

垂直な壁から、時計回りに回転する様子をイメージします。
点Bは常に接したまま、点Aが次の段にぶつかって回転が止まります。
このとき、棒は壁に立て掛けた状態です。

立て掛けた棒の下の隙間に注目。
ここは直角三角形で、斜辺と短辺の比は２：１。

ということは……
「３０°、６０°、９０°の直角三角形」

これより、棒の回転角は１２０°だった、と分かります。

通過領域の面積は、

\[
\pi × 4 × 4 × \frac{120}{360} = \frac{16}{3}\pi……（\mathrm{ii}）
\]

Step３：点Aを中心とする２４０°回転

立て掛けた状態から時計回りに回転するとき、点Aは固定されます。
Aを中心とした、半径ABの回転をイメージします。

棒は壁にぶつかって止まります。
回転角は、３６０°ー（９０°＋３０°）＝２４０°

通過領域の面積は、

\[
\pi × 4 × ４ × \frac{２４0}{360} = \frac{３２}{3}\pi……（\mathrm{iii}）
\]

あとは、（i）、（ii）、（iii）を足し合わせるだけ。

…というわけにはいかず。
重ね塗りされた部分の面積の分を補正する必要があります。

延長戦：重なった部分の面積を求める

重ね塗りの部分をオレンジ色で示しました。
この部分を二重に数えてしまうので、引き算する必要があります。

さて、どうやったら求められるでしょう？

この図形の成り立ちにヒントがあります。
そもそもこの領域は、扇形を重ね塗りしたものでした。

であれば、ここも足し合わせて共通部分（三角形）を引き算すればOK。

つまり、
オレンジの面積＝扇形＋扇形ー正？三角形

まず、正？三角形について。
この三角形の各辺は全て、棒ABが通ってきた「足あと」です。
ということは、長さは全て４。

まさしく、一辺の長さ４の正三角形。

すると、扇形は「半径４、中心角６０°」
面積は、

\[
\pi × 4 × ４ × \frac{６0}{360} = \frac{8}{3}\pi
\]

正三角形については、「一辺の長さが１である正三角形の高さは０．８５」を使って求めます。
一辺が４なら、高さは０．８５×４＝３．４
→（正三角形）＝４×３．４÷２＝６．８

よって、オレンジの図形の面積は、

\[
\frac{8}{3}\pi+\frac{8}{3}\pi-6.8=\frac{16}{3}\pi-6.8
\]

以上より、棒が通過する領域の面積は、

\begin{align}
(\mathrm{i})+&(\mathrm{ii})+(\mathrm{iii})-（橙） \\
&=\pi+\frac{16}{3}\pi+\frac{32}{3}\pi-(\frac{16}{3}\pi-6.8) \\
&=\frac{379}{15}×3+6.8 \\
&=84.6
\end{align}

選択肢を見ると、この値に最も近いのは３の「８０」。

よって、３が正解です。

おわりに：転がる軌跡は中心＆半径＆回転角で決まる

お疲れ様でした！

滑らずに転がる図形の軌跡は、まず「イメージ」すること。
意識するポイントは３つ。

ステップに分けるときは、扇形に注目するのがコツ。
半径（中心）が固定なら、転がる移動の軌跡は扇形（円弧）です。
なので、半径や中心が変わるタイミングで区切れば、全体は扇形の寄せ集めとして計算できます。

今回は、滑らずに転がる棒が通るエリアの面積を計算する問題でした。
中心点が切り替わる瞬間を捉え、ステップごとに扇形の面積を求めて足し合わせます。
このときに重ね塗りの部分を２回数えてしまうので、引き算で補正します。

点の軌跡をもう１問。

回転つながり。

最後までお読みいただきありがとうございました。

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