【国家一般職】数的処理の過去問に学ぶ、整数を使った方程式の解き方【砲丸投げで持ち点を競うゲームと方程式】

こんにちは！
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。

公務員試験を受ける方は必見！
ぜひ最後まで読んでいってください。

今回のテーマは……「方程式」

まずは本サイトの肝である「解法のポイント」を紹介。
これで明日から１点アップ！？

この「解法のポイント」について、詳しく知りたい方は以下の記事をチェック。

ぶっちゃけて言うと、これだけでこの記事の半分はおしまい。
ほら、時間的な感覚だと人生の折り返しは２０歳っていうし。

ここからは、過去問をもとに作ったオリジナルの演習問題を解きながら、「解法のポイント」の使い方を学んでいきます。

演習問題：砲丸投げで持ち点を競うゲームと方程式

４回の砲丸投げで持ち点を競う問題。
求めたいのは「はじめにBが持っていた持ち点」なので……？

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：方程式を解いたら整数問題

数的処理で箇条書きの条件といえば、文章題（対応関係/位置関係/順序関係）です。
条件から確実に正しいといえる文を選ぶ、というやつ。

本問も、箇条書きの条件が与えられてますが、文章題ではありません。
本問の選択肢は、文ではなく「数値（持ち点）」だからです。

持ち点という数値を求める、というのが本問の目的であり、ゴールです。
これを明確にしておくのは大切。

目的がはっきりすると、方針を立てやすくなるからです。
カーナビでルートを調べるときも、最初に目的地を入力しますよね。
ゴールを意識するからこそ、そこへ至る道筋が見えてきます。

数値を求める方法として一番ポピュラーなのが、「方程式」です。
そこで、本問も方程式で解決できないか、と考えてみます。

方程式の「解法のポイント」の出番です。

以下、この手順に沿って解いていきます。

求めるものを文字でおく

求めたい数値を\(x\)でおくのがキホン。
本問では、「はじめにBが持っていた持ち点」を\(x\)とします。

しかし、これだけでは方程式の立てようがありません。

本問は、Bだけでなく、AとCの持ち点も調べる必要があります。
そこで、AとCのはじめの持ち点も、それぞれ\(a, c\)とおきます。

A〜Cの各回の持ち点を、次のような表に整理します。

	はじめ	１回目	２回目	３回目	４回目
１位	ー	B	A	A	C
A	\(a\)
B	\(x\)
C	\(c\)

表には 各回の１位・１回目はBが１位であった。
・２回目と３回目はともにAが１位であった。
・４回目はCが１位で、AとBはCに持ち点を与えた結果、持ち点がちょうど０点になった。 と、はじめの持ち点を書き込んであります。

持ち点を文字式で表す

ここから、 ゲームのルール１位だった者は、他の２人からそれぞれ自分の持ち点と同数の得点を受け取った にしたがって各回の持ち点を文字式で表していきます。

例えば、１回目はBが１位なので、BはAとCから\(x\)ずつ受け取った結果、持ち点が\(3x\)になります。
AとCは\(x\)ずつ減って、持ち点はそれぞれ\(a-x\)および\(c-x\)です。

	はじめ	１回目	２回目	３回目	４回目
１位	ー	B	A	A	C
A	\(a\)	\(a-x\)
B	\(x\)	\(3x\)
C	\(c\)	\(c-x\)

同じように、各回の持ち点を文字式で表します。

	はじめ	１回目	２回目	３回目	４回目
１位	ー	B	A	A	C
A	\(a\)	\(a-x\)	\(3(a-x)\)	\(9(a-x)\)	\(13a-c-12x\)
B	\(x\)	\(3x\)	\(4x-a\)	\(7x-4a\)	\(4x-c\)
C	\(c\)	\(c-x\)	\(c-a\)	\(c-4a+3x\)	\(3(c-4a+3x)\)

条件で方程式を立てて解く

４回目の結果に ３つ目の条件の後半〜で、AとBはCに持ち点を与えた結果、持ち点がちょうど０点になった。 を当てはめると、方程式が２つ立てられます。

Aの持ち点がちょうど０点
→\(13a-c-12x=0\)

Bの持ち点がちょうど０点
→\(4x-c=0\)
→\(c=4x\)

Aの式に代入すると、\(13a-16x=0\)
これを\(a\)について解きます。

\[
a=\frac{16}{13}x……（☆）
\]

整数の候補を挙げてしらみつぶし

ここで、「\(a\)は整数である」という大前提を思い出しましょう。

（☆）が整数であるためには、\(x\)が「１３の倍数」であることが必要です。
すると、\(x=13, 26, 39, ……\)

（☆）より、\(x\)と\(a\)の対応は次の通りです。

\(x\)	１３	２６	３９	…	９１
\(a\)	１６	３２	４８	…	１１２

このうち、 ４つ目の条件Aのはじめの持ち点は３０点以下であった。 を満たすのは
\(x=13, a=16\)
のみ。

よって、１が正解です。

おわりに：文字でおいて方程式を立て、解く

お疲れ様でした！

求める対象が具体的な数値である場合は、方程式で解決できる可能性があります。
求めたいものを\(x\)とおき、方程式を立てて解く、という流れが基本です。

今回は、増減する持ち点を文字でおく方程式の問題でした。
前半で方程式を立てて解き、後半は整数問題として処理します。

未知数３つに対し、得られる方程式は２つ。
ここに「整数である」という条件が加わると、未知数を具体的に求められます。

ちなみに、候補を挙げてしらみつぶし、という解き方は整数問題で頻出です。

最後までお読みいただきありがとうございました。

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