一筆書きと立体

こんにちは。初めましての方は初めまして。ご覧いただきありがとうございます！
本サイト、「数的処理の穴場」を運営しておりますモクセイと申します。

前回は、団体注文の割引率を求める問題でしたね。
どんな解き方だったか忘れてしまったという方は、ぜひ一度戻って確認してみてください。
数的処理に限らず、一度解いた問題は時間を空けずに復習するのが定着のコツですよ！
大丈夫な方は、本日の問題に進みましょう。

本日の演習問題

このサイトでは久しぶりの図形問題です。
テーマは一筆書きですが、平面ではなく立体図形なのがこの問題の大きな特徴ですね。
以下でこの問題を詳しく解説します。
長ったらしい説明が嫌な方は一番下に略解をまとめてあるので、そちらまで読み飛ばしていただいても問題ありません。

それではスタート！

詳しい解説

選択肢を見るに、四角すいが偶数個の場合だけ考えれば十分ですね。
選択肢をヒントとして利用しようという考え方は、以前の記事でも取り上げたことがあります。
まだ見てない方は、よかったらご覧ください↓
経費が最小となるミーティング会場｜数的処理の穴場

一筆書きが可能な条件としては、以下の2つが知られています。

• 奇点が0個である（＝偶点のみ）
• 奇点が2個だけある

これらのいずれかを満たす図形は、一筆書きが可能となります。

よって本問では、四角すいをくっつけてできる立体の各頂点の奇偶を調べるのが主な方針となります。
以下、四角すいを何個使うかによって、次の(i)〜(iii)の3通りに場合分けします。

1. 四角すいを2個使う場合
2. 四角すいを4個使う場合
3. 四角すいを6個使う場合

(i)四角すいを2個使う場合
対称性より、四角すいのくっつけ方は次の2通りに限られます。

立体図で直接数えてもOKですが、説明の都合と今後のために、位相図を使った解き方を覚えましょう。
位相図の考え方は「補足」として末尾に説明を載せるので、苦手な方はそちらをご参考ください。
ここでは、実際に位相図を活用して問題を解いていきたいと思います。

まず、(i-a)および(i-b)の位相図を描くと、次図のようになります。

(i-a)では奇点が0個なので一筆書きが可能ですが、(i-b)では奇点が4個なので一筆書きは不可能です。
題意は「（一筆書きが可能な）立体の形状が、少なくとも1つ存在するときに用いられる四角すいの数」なので、このケースは一筆書きが可能、という結論になります。

(ii)四角すいを4個使う場合
対称性を考えると、四角すいのくっつけ方は以下の2通りに限られます。

これらの位相図を描くと次のようになります。

各頂点から出る経路数もこの図の通りで、奇点の数を数えると、(ii-a)は4個、(ii-b)は8個なのでいずれも一筆書きはできません。
よって、四角すいが4個の場合は一筆書きが不可能、となります。

(iii)四角すいを6個使う場合
これは立方体の全ての面に四角すいがくっついた場合になります。
立体図と位相図は次のようになります。

この図に示す通り、各頂点は全て偶点となっているので、一筆書きできます。
よって、四角すいが6個の場合は一筆書きが可能、となります。

以上から、一筆書きが可能なのは四角すいが6個の場合で、４が正解となります。

補足：位相図の考え方

位相図は簡単に言うと、真上から見た図を末広がりに引き伸ばしてできる図です。

底面に近くなるほど大きくゆがんでしまってますが、頂点どうしのつながりは元の立体から保たれているので、奇点か偶点かを調べる目的ならこれでOKです。

(i-a)のように、下側にも四角すいがくっついているケースは少し複雑ですが、次図のように頂点を右に移動させてから、頂点同士のつながりを復活させるイメージです。

位相図を導入することで、立体図の頂点を結ぶ経路を平面的に議論することができるようになります。

おわりに

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

一筆書きの問題では、位相図を使って考えるのが基本的な解法です。
できあがった立体図をイメージできて、かつ正確な図が描ければ立体図のまま考えるのもアリですが、四角すいの数が多くなってくるとなかなか難しくなってきます。（私はムリでした……）
そんな方のために、今回は位相図を使った解説を紹介しました。
位相をテーマにした問題は国家総合職では時折出題されるので、この機会に位相図の書き方をマスターしてしまいましょう！
位相図のイメージは、立体を真上からプレスした様子を表した図、と捉えてもいいかもしれません。
前項の「補足」も活用しながら、自分なりの理解でいいので、立体図→位相図の変換をスムーズに行えるようになるまで練習しましょう。

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次回もお楽しみに！

略解