卵パックが決まった順序で購入される確率

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ホント、いいねボタンより先にこっちを導入すべきだった。

前回は、果物の階級と購入者の対応関係を推測する問題をやりましたね。
まだ解いてない方は、ぜひ挑戦してみてください。
すでに解いた方は、解いたときのことをここで思い出してみましょう。
どんな問題だったか、どんな解法を使ったか、などなど。
思い出すことで、解法が記憶として定着します。
定着した記憶は、きっと本番で皆さんの力となってくれるはずです。
問題を解いたら、解きっぱなしで終わらず、何度も復習して自分の糧にしましょう。
復習がバッチリな方は、本日の問題へ参りましょう！

本日の演習問題

2種類の卵がどんな順番で買われるかは、実際に書き出してみないと分かりませんね。
その意味では、確率分野の中でも場合の数的な要素の強い問題であるといえるかもしれません。
以下、詳しい解説になります。
回りくどい説明が嫌な方は、一番下に略解としてコンパクトにまとめてあるので、そこだけ読んでいただくのでも大丈夫です。

それではスタート！

詳しい解説

まずは、A〜Eを最初に選んだ場合のそれぞれについて、卵がどんな順番で買われていくのかを樹形図で書き出してみましょう。
買われる順番が明らかになれば、「白→茶→茶→白の順に購入される確率」も計算できます。
以下では、一番左の1個を「F」として説明します。

優先度の高さは、「値引き」＞「角」＞「茶 or 白」となります。

例えば、Aが最初に買われた場合に選ばれる順番としてあり得るのは、次の4通りです。

○印は白色の卵です。
このうち、白→茶→茶→白の順に買われるのは下から2つのパターンですね。
これらが起こる確率を求めましょう。

条件エ「同じ条件に当てはまる違う色の卵パックが複数ある場合は、\(\frac{2}{3}\)の確率で白卵を選ぶ」より、最初の分岐でD（茶卵）が選ばれる確率は\(\frac{1}{3}\)です。
次のEとFの分岐では、条件ウ「同じ条件に当てはまる同じ色の卵パックが複数ある場合は、等しい確率で1つを選ぶ」より、EとFのいずれかを選ぶ確率は、どちらも等しく\(\frac{1}{2}\)です。

よって、確率は\(\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2=\frac{1}{3}\)

B〜Eを最初に選んだ場合の確率も、同様に調べます。

Bを最初に選んだ場合、買われる順番としてあり得るのは次の4通りです。

この場合は白→茶→茶→白の順に買われることはないので、確率は0です。

Cを最初に選んだ場合、買われる順番としてあり得るのは次の4通りです。

この場合も白→茶→茶→白の順に買われることはなく、確率は0です。

Dを最初に選んだ場合、買われる順番としてあり得るのは次の4通りです。

この場合、白→茶→茶→白の順に買われるのは上から2段目と4段目です。

まず、上から2段目のパターンについて、最初の分岐はEとFが選ばれる確率はともに\(\frac{1}{2}\)です。
かつ、2つ目の分岐でBが選ばれる確率は\(\frac{2}{3}\)なので、この場合の確率は\(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)
また、上から4段目のパターンについても、同様に\(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)です。
これにより、確率は\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

Eを最初に選んだ場合、買われる順番としてあり得るのは次の4通りです。

このうち、白→茶→茶→白の順に買われるのは上から2段目と3段目です。

まず上から2段目について、最初の分岐でCを選ぶ確率は\(\frac{2}{3}\)です。
かつ、2つ目の分岐でBを選ぶ確率は\(\frac{2}{3}\)なので、この場合の確率は\(\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)
また上から4段目については、最初の分岐でDを選ぶ確率は\(\frac{1}{3}\)です。
かつ、2つ目の分岐でAを選ぶ確率は\(\frac{1}{3}\)なので、この場合の確率は\(\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\)
これにより、確率は\(\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}\)

以上をまとめると、次のようになります。

	A	B	C	D	E
確率	\(\frac{1}{3}\)	\(0\)	\(0\)	\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{5}{9}\)

最も確率が高いのはDなので、４が正解です。

おわりに

お疲れ様でした！
いかがだったでしょうか？

確率と場合の数は密接な関係にあります。
確率を知るためには場合の数を正確に数え上げなくてはなりません。
樹形図は場合の数を数え上げる方法の一つです。
本問のように、具体的な順番を知りたい問題では有効な手段となります。
書き出す、というのはかなり原始的な方法ですが、数的処理では意外にも有効な場合が多いです。
その場合は数え忘れや重複して数えたりすることがないように注意しましょう。
数的処理の中で、確率は絶対に外せない重要単元です。
もちろん、国家総合職でもかなりの頻出分野となっています。
苦手な方は、まずは書き出して解決できる問題から攻略するのがいいのではと思います。
本サイトで過去に紹介した確率の問題を載せるので、ぜひそちらもチャレンジして、いろいろな出題パターンに触れてみてください↓

• 確率の小問集合
• バルブを含む水路と確率

もちろん、今後も様々な確率の問題を解説する予定なので、ぜひまた勉強しにきてください！

本サイトでは、今後もこうした演習用の問題をアップしていく予定なので、ブックマークなどして気軽に訪れてもらえたらうれしいです。
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次回もお楽しみに！

略解