NEW!【国家一般職】平面図形と整数、二つの顔を持つ融合問題【折り返す長方形の整数解】

こんにちは！
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。

公務員試験の数的処理をはじめとした、算数/数学の試験を受ける方は必見！
ぜひ最後まで読んでいってください。

今回のテーマは……「融合問題（平面図形&整数）」

分野ごとの問題だけを解いて満足していませんか？
それ、もったいない。

実際の試験では（難しい試験であればあるほど）複数の分野の知識を組み合わせて解く融合問題の出題が多くなります。
一つの分野だけではない、もっと広い理解が求められます。

厄介なので、つい敬遠しがち。
だからこそ、

周りに差を付けるチャンスなんです。

多くの問題に触れ、解き方を理解して経験を積めば、それだけで優位に立つことになります。

今回も、国家一般職の数的処理の過去問をベースに、総合職の合格者である筆者が作ったオリジナル問題を【世界一ていねいに解説】します。

演習問題：折り返す長方形の整数解

平面図形と整数の融合問題。
これ一つで両方の解き方を学べちゃう。

それでは、解説スタート！

解説：補助線で三平方の定理→整数問題

図を眺めているだけでは、糸口はつかめません。
そんなときこそ補助線の出番。

補助線を引いて直角三角形を作る

補助線を引く、といっても闇雲に引けばよいというものでもありません。
解き方の見通し、というか、補助線を引く目的は持っていてほしい。（特に問題演習では）

今回は、以下の予想のもと補助線APを引きます。

果たしてこの予想は当たっているでしょうか？
検証しましょう！

B’Pの長さが知りたいので、これを\(x\)とおきます。

ポイントは「折り返し」
折り返しには重要な法則があります。

“折り返した図形は折り目に関して線対称になる”

これによると、AB’=BC=\(b\)
さらに、B’P=BP=\(x\)
これより、AP=AB-BP=\(a-x\)

三平方の定理を\(x\)について解く

△AB’Pの三辺の長さが出揃ったので、三平方の定理で\(x\)の式が立ちます。

これを\(x\)について解けば、B’Pがわかります。
式を展開し整理すると、

あとは\(x\)が整数になるような\((a,b)\)の組を探すだけ。
もうひと息です。

整数問題の定石「しらみつぶし」

整数問題といえば、範囲を絞ってしらみつぶしする解き方。
本問にも有効です。

\((a,b)\)は一桁の整数なので、\((a^2,b^2)\)の候補は1〜9の平方数。

かつ、x>0のはずなので、\(a>b\)
また、aとbは長方形の辺なので、\(a \ne b\)

以上の前提条件を踏まえて\((a,b)\)の候補を絞り込みます。

全ての組を\(x\)に代入して調べる力技もアリ。
ですが、ここからさらに候補を絞り込む方法があります。

\(x\)の式を見ると、分子が2の倍数。
ということは、分母である\(a^2-b^2\)も偶数のハズ。

これより「\(a\)と\(b\)の偶奇は一致する」という第四のお約束が明らかになります。
→\(a,b\)の偶奇が一致しないものは除外できる！

約半数近くにまで減りました。
残った候補それぞれを\(x\)の式に代入してみて、整数になる組がいくつあるか数えます。

以上より、整数になる組は（8,4）と（9,3）の2つ。

以上より、３が正解です。

おわりに：平面図形も整数も

お疲れ様でした！

前半図形、後半整数の融合問題でした。
実際の試験では、本問のような複数の分野にまたがる問題も多く出題されます。
複雑さはありますが、普段の学習では「一粒で二度おいしい」問題でもあります。

一通りの基礎が身についたら、果敢に挑戦していってください。

このほか、数的処理の穴場では、平面図形＆整数の問題をたくさん紹介しています。
平面図形の過去記事はコチラ。

整数の過去記事はコチラ。

最後までお読みいただきありがとうございました。

「数的処理の穴場」では、算数・数学のオリジナル問題と【世界一ていねいな解説】をたくさん公開しています。

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