NEW!【国般/中受】転がる正四面体を制する「2つのカギ」【転がる正四面体の開始地点】

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今回のテーマは……「立体の回転（立体図形）」

立体図形でよくあるのが
平面上で滑らないように立体を転がす、という問題。

実は、こうした問題にはコツがあります。
それは「立体のまま考えない」ということ。

3Dがダメなら2Dで。
つまり

平面でとらえよう

ってこと。

そのために必要なカギは2つ。

今回は、転がる正四面体の攻略法をていねいに解説します。

講義：転がる正四面体は「頂点と周期性」がカギ

「平面上を滑ることなく転がる正四面体の動きを知りたい。」

注目すべきポイントは２つ。
「頂点」と「周期性」です。

• 頂点（面）のラベリング
  →必須
• 周期性に注目
  →必要に応じて

その1．正四面体の頂点（面）の区別

まずは頂点（あるいは面）の「ラベリング」
正四面体の頂点に、A,B,C,…などと名前を付ける、ということ。

頂点を区別することで、正四面体の動きを「平面でとらえる」ことができるんです。

ここで例題を一つ。

【例題1】
上にある頂点が「A」、底面の3頂点が「B, C, D」の正四面体があります。この正四面体を、三角形BCDを下にした状態で置き、マスの上を「右→上」の順に2回倒しました。このとき、地面についている面は三角形[　　　]です。

【解】
倒れた結果、
1回目…Aが地面に付く（Bが空中）
2回目…Bが地面に付く（Cが空中）
　→結果、地面上の面は三角形ABD（答）

正四面体がマス目の上を転がる過程で、マスに頂点の名前（A,B,C…）を書き込んでいくと、どのタイミングにどの面が床にあるかを２Dで把握できますよね。
（分かりやすい！）

その2．転がる正四面体の周期性に注目

次に、「周期性」

正四面体が転がるとき、頂点の現れ方に一定の規則があることを利用します。

周期性は、広大なフィールドでその真価を発揮します。
1万マス先、1億マス先（！）の頂点（面）も分かっちゃうスグレモノなんです。

【例題2】
マス目のある無限に長い床の上に置いた正四面体AーBCDを、辺を軸として滑らないように右方向へ転がし続けるとき、はじめにCがあった点から数えて
(1)2個先の点は何か。
(2)1000個先の点は何か。

【解】
(1)はじめのCから2個先、というのは転がる回数でいうと4回。
　→C（答）
（この程度なら「その1」と同じように調べられる）

(2)(1)の図を見て、「（B→C→）B→C→B→C→…」というループに気づいてほしい。
1000個先なら、1000=500×2+0なので、C（答）

こんな風に、周期性が分かると「無限の彼方へ転がる正四面体」のことも分かっちゃうんです。
（スゴイ！）

講義まとめ：正四面体のラベリングで周期性も

講義の内容をおさらい。
転がる正四面体の動きを追うために必要なのは、

頂点のラベリング
と
周期性

問題：転がる正四面体の開始地点

設定は「A～F→太線」ですが、「太線→A～F」へ転がすと考えても全く同じ。
立体で考えることにとらわれるとハマります。

解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
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