NEW!【国家一般職】面・頂点・辺の数は覚えなくてOK。暗記よりもっと大切なこと【双対な関係にある正多面体】

こんにちは！
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。

公務員試験を受ける方は必見！
ぜひ最後まで読んでいってください。

今回のテーマは……「正多面体の面・頂点・辺の数」

空間図形で頻出の正多面体。
覚えていれば解ける問題もあるので、苦手な人もココだけは勉強してほしいところ。

逆に、勉強はしているけど、覚えられなくて困ってるんだ！という人もいるでしょう。

そういう人にオススメなのが、【その場で導き出す】というアプローチ。

今回の「面・頂点・辺の数」は、数そのものを丸暗記する必要はありません。
むしろ、大切なのは「数え方」。
数え方を理解していれば、いつでも計算できます。

正多面体の面の数・辺の数・頂点の数の数え方は、以下の記事で解説しています。

今回は、このアプローチが使える問題を用意しました。
以下、過去問をもとに作ったオリジナルの演習問題を解きながら、「解法のポイント」の使い方を学んでいきます。

演習問題：双対な関係にある正多面体

立体の双対性をテーマとした空欄補充問題。
知ってれば即答できますが、知らなくても解けます。

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：正多面体の頂点はその場で数える

A：双対なら頂点の数は面の数

「双対な関係にある」の意味は、問題文の通り。
これによると、立体αとβが双対な関係にあるなら、αの面の数はβの頂点の数に一致します。
逆に、αの頂点の数はβの面の数に一致します。

よって、正十二面体と双対な立体の頂点の数は、正「十二」面体の１２……A

B：正多面体の頂点の数をその場で求める

次の公式を使うと、一つの頂点に集まる面の数（B）が分かります。

頂点の数＝１面の頂点の数×面の数÷頂点に集まる面の数

頂点の数（＝１２）は分かっているので、あとは「１面の頂点の数」と「面の数」。

「面の数」は、正十二面体の頂点の数（＝２０）です。
これは、覚えてなくても簡単に計算できます。

正十二面体は、１２枚の正五角形でできています（１２×５）。
各頂点は３つの正五角形が重なる（÷３）ので、
１２×５÷３＝２０　←　公式そのもの！

双対な立体とは、正二十面体のことでした。
正二十面体の面は正三角形なので、「１面の頂点の数」は３。

頂点の公式より、１２＝３×２０÷（頂点に集まる面）
→（頂点に集まる面）＝５……B

C：頂点周りの面の数＝切り口の辺の数

頂点に５つの面が集まっている、というのは、次の図のような状態。
これを切り落とすとき、切る面は頂点の周りの面と線で交わります。

つまり、切り口は５つの辺で囲まれた「正五角形」……C

以上、まとめると
A：１２
B：５
C：正五角形

よって、２が正解です。

おわりに：正多面体の面・頂点・辺の数は「理解する」

お疲れ様でした！

正多面体の面・頂点・辺の数は、覚えずとも【その場で導き出す】ことができます。
「なぜそうなるか？」を理解してればOK。
なかなか覚えられない方は、理詰めもアリ。

今回は、正二十面体の面・頂点の数の問題でした。
双対な関係の性質を使うのが第一歩。
正十二面体の頂点の数は、覚えてなくてもすぐに計算できます。
頂点の数の公式も含め、成り立ちを理解しているのが理想。

最後までお読みいただきありがとうございました。

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