【国家一般職】「約数」を制す者は整数問題を制す【約数を利用した整数問題】

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モクセイ

「解法のポイント」はないこともある、かもしれない

今回のテーマは……「整数」

整数ってスゴイんです。
「整数である」という条件があるだけで、たった一つの式から2つ3つの未知数がわかっちゃうことも。

モクセイ

普通は未知数と同じ数だけ式が必要になる

ともかく。

整数問題の解き方には一定のパターンがあるって知ってますか？
整数、という数の性質をテーマとする以上、問題のバリエーションにも限りがあるからです。

整数問題を攻略するコツは、定番の解き方を知ること。

今回は、約数を使うパターンをピックアップ。
大事なのはこれ↓

（A式）×（B式）＝整数

この形に表せば、約数のペアを書き出してしらみつぶしできるよね、という考え方です。

今回も、数的処理の過去問みたいな問題を使って、定番の解き方を学びます。

モクセイ

中学数学の知識があればイケる

目次（※演習問題のネタバレ注意）

演習問題：約数を利用した整数問題
解説：因数分解で「約数×約数＝整数」に持ち込む
おわりに：整数には書き出し＆しらみつぶし

演習問題：約数を利用した整数問題

次の式を満たす整数 $a,b,c$ について、 $a+b+c$ はいくらか。
ただし、 $0<a<b<c$ とする。

$a^2b^4+4a^2b^2+4a^2-c^2-105=0$

実質的に $a,b,c$ を求めよ、という問題。
与えられた式をじっと眺めてみると……？

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

モクセイ

おそすぎる自己紹介

それでは、解説スタート！

解説：因数分解で「約数×約数＝整数」に持ち込む

$a+b+c$ を求めよ、という問題。
単純に考えれば、 $a,b,c$ がいくつなのかが分かればOKです。

しかも、条件に注目。

“整数 $a,b,c$ について、～。ただし、 $0<a<b<c$ とする”

これ、もう「 $a,b,c$ を求めて」って言わんばかりでしょ？

モクセイ

はっきり言えばいいのに、素直じゃないんだから

$a,b,c$ を具体的に求めることなく、「 $a+b+c=$ ～」を導き出して終わるパターンもあります。

整数の重要な性質の一つが、「約数」
登場人物が全て整数なら、【（A式）×（B式）＝整数】の形はすなわち「A式（or B式）＝約数」

本問も、次の式を変形して【（A式）×（B式）＝整数】の形を作り出します。
みんな大好き「因数分解」を使います。

$a^2b^4+4a^2b^2+4a^2-c^2-105=0……(☆)$

モクセイ

因数分解が、お好きでしょ♪（？）

以下、【（A式）×（B式）＝整数】を念頭に置きながら式変形していきます。

因数分解の定石その1：共通因数でくくる

因数分解は、まず共通因数でくくること。
次数（右肩に乗ってる数）が少ない文字に注目すると、大抵うまくいきます。

式☆であれば、次数が少ないのは $a$ 。
$a^2$ でくくってみます。

因数分解の定石その2-1：公式を使う

因数分解で次に考えることは、公式を使うこと。
必死におぼえた因数分解の公式を思い出し、「使えるものはないかな～？」と探します。

（☆1）をじーっと眺めますと……

$a^2$ でくくったカッコ内！！

公式(ii)が！！！

使えるんです！！！！

モクセイ

なんだこのテンション

因数分解の定石その2-2：平方（2乗）の差に注目

さて、目標は【（A式）×（B式）＝整数】の形を作り出すことでした。
（☆2）はまだこの形ではありません。

ということは、、、
さらに因数分解をする必要があります。

モクセイ

共通因数はムリってことで公式を使う

再び式をじーっと眺めます。

2乗の差に気づいてほしい。
公式(iv)を使ってさらに因数分解できます。

モクセイ

「（A式）×（B式）＝整数」の形になりました

候補を書き出す：2つの｛｝は105の約数

A式＆B式は105の約数です。

「A式＞ B式」に注意すれば、A式＆B式を次のように書き出せます。

モクセイ

$c$ を足したもの(＝A)の方が引いたもの(＝B)より大きい

全パターンをしらみつぶし

各パターンそれぞれで、「A＝～」と「B＝～」を辺同士足し合わせます。（ $c$ を消去）
上から順に、 $a(b^2+2)=53, 19, 13, 11$

いずれも素数なので、 $a=1$

同じく「約数×約数」で考えます。
「素数＝1×その数自身」なので、 $a$ と $b^2+2$ の一方は1のはず。
$b^2+2$ は2以上なので1ではない
→ $a=1$ に決まります。

よって、 $b^2+2=53, 19, 13, 11$
→ $b^2=51, 17, 11, 9$

このうち、。
→ $b=3$

このとき、(A式, B式)＝(15, 7)
つまり、 $a(b^2+2)+c=15$
→ $c=4$

$(a,b,c)=(1,3,4)$ は、「 $0<a<b<c$ 」を満たしています。

これより、 $a+b+c=1+3+4=8$

以上より、２が正解です。

おわりに：整数には書き出し＆しらみつぶし

お疲れ様でした！

整数問題には定番の解き方があります。
その一つが、約数を利用して解くやり方。
今回は、因数分解を使って【（A式）×（B式）＝整数】の形を作って解く問題でした。
この形ができれば、あとは約数のペアを書き出してしらみつぶしできます。

【（A式）×（B式）＝整数】を作って約数に持ち込む、という解き方はぜひ覚えてください。

整数問題には、このほかにも定番の解き方があります。
以下の記事も参考に。

「範囲→書き出し→しらみつぶし」の3ステップ↓

【国家一般職】汎用性バツグン！整数問題の鉄板解法がこちら【４桁の虫食い整数】

この記事では、数的処理の整数問題で頻出の解法を紹介しています。これを読めば、整数問題への対応力がアップすること間違いナシ。過去問をもとにした演習問題には詳しい解説が付いているため、本番で使える「解法のポイント」が身につきます。

余りの問題の解き方↓

【国家一般職】たった一つでいい。整数の割り算に効く「余りの万能公式」【割り算の余りの条件を満たす整数】

この記事では、割り算の「余り」をテーマとした整数の問題に効果バツグンの公式を紹介しています。さまざまな出題パターンもこれ一つ。過去問レベルの演習問題には、どこよりも詳しい解説が付いているので、公式の使い方も身につきます。

最後に一言

自動洗浄のトイレ行くと座ってないのに水流れるよね

モクセイ

これがVIP待遇ってやつ？

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