【国家一般職】キャロル表とベン図は集合の数で使い分ける【生徒を対象としたアンケート結果の集計】

こんにちは！
公務員試験の数的処理解説サイト「数的処理の穴場」へようこそ。

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ぜひ最後まで読んでいってください。

今回のテーマは……「集合の要素数」

数的処理で何かと目にするこの単元。
今回は、特に「キャロル表」に焦点を当ててみたいと思います。

キャロル表は、「……かつ〜」とか「○○または××」を満たす集合の要素数（人数）を数えるときに使うものです。
ベン図と並んでよく登場しますが、

「どう使い分けたらいいの？」

という疑問をもつ方が非常に多いようです。

ざっくりお答えすると、

「２集合ならベン図、３集合ならキャロル表」

です。

今回は、集合の要素数の問題で役立つ「キャロル表」について、ベン図との使い分けをていねいに解説します。
後半では、数的処理の過去問に似せた演習問題を解きながら、その使い方を学びます。

講義：キャロル表とベン図の使い分け

もう一度言います。
集合の要素数（人数）を数える問題は、

「２集合ならベン図、３集合ならキャロル表」

です。

もう少し言うと、キャロル表は二者択一の集合３つからなる問題に有効です。
具体的には、「ある/ない」とか「高い/低い」とか「以上/未満」とか……

簡単な例を挙げて考えてみます。

例題：３集合ならベン図よりもキャロル表

犬/猫/うさぎの、飼っている/いない……
二者択一の３集合にまつわる問題。

まず、与えられた数値を図のA〜Gに書き込んでいきます。

書き込んだ図は次の通り。

求めるものは、うさぎ「だけ」を飼っている人数。
なので、右下の四角形の内側を\(x\)とします。

ほか、\(x\)を求める過程で使う数値も文字でおきます。
\(x\)や、すでに分かっている数値と隣り合う場所は必要となる可能性が高いです。

ここでは、「６」の右隣を\(a\)、\(a\)と\(x\)の間を\(b\)とおきます。

四角形の上半分で、
\(2+a=6\)
→\(a=4\)

四角形の内側の横軸上で、
\(4+b=8\)
→\(b=4\)

よって、\(a+x=b\)
→\(x=0\)人（答）

ベン図で解くと……

ベン図を使った解き方では、区切られた領域の人数を文字でおくのが定石。

ベン図を描いて、求める人数を\(x\)、それ以外の領域を\(a,b\)とおきます。

２集合の円の重なり（共通部分）に注目すると、

猫＆うさぎ：\(b+2=6\)　→　\(b=4\)
うさぎ＆犬：\(a+2=4\)　→　\(a=2\)

うさぎの円に注目すると、
\(x+a+b+2(=x+2+4+2)=8\)　→　\(x=0\)人（答）

キャロル表のメリット

こう見ると、キャロル表で解くのもベン図で解くのも同じに思えます。
しかし、実際の試験で使うなら、前者の方が有利です。

試験では、図を手書きしなければならないことを思い出してください。

まず、３集合のベン図ってちょっと書きにくい。
試験は時間勝負ですから、そう何度も書き直せません。
かといって見づらいまま考えると、計算ミスや思い違いを生むリスクが高まります。

もう一つ、領域をまたいだ数値を書き表しにくいのもベン図の欠点です。
上の例題なら、「猫＆うさぎ」とか「うさぎ＆犬」の数値をどこに書いていいか、という問題があります。

この点、キャロル表は四角形と十字線だけで難なく書けます。
しかも、個々に書き込む場所が用意されているので、数値や文字を全て図に落とし込んでしまえるのも強みです。

結論：３集合ならキャロル表

このように、３集合の要素数に関する問題を考えるのに、ベン図は最適とはいえません。
慣れは必要ですが、二者択一の３集合ならキャロル表で解くのがオススメです。

そんなわけで、要素数の問題は「２集合ならベン図、３集合ならキャロル表」です。

以上、ベン図とキャロル表の使い分け方の解説でした。

ここからは、過去問をもとに作ったオリジナルの演習問題を解きながら、「解法のポイント」の使い方を学んでいきます。

演習問題：生徒を対象としたアンケート結果の集計

アンケート調査の回答結果を集計する問題。
個々の質問を集合と見なせば、同じ回答をした人数が要素数です。

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：二者択一の３集合にはキャロル表

条件を見るに、質問項目は３つで、回答は「YES/NO」式の二者択一。

• ５科目の平均が５０点以上/未満
• 朝食を食べる習慣がある/ない
• 習い事をしている/いない

二者択一で３集合なら、キャロル表が有効です。

次のようなキャロル表を用意し、人数を書き込んでいきます。

分かっている数値をキャロル表に書き込む

まずは数値を書けるところから記入します。

１つ目の条件５科目の平均が５０点以上の者は８３人、５０点未満の者は６７人である。 に注目すると、回答者は全部で８３＋６７＝１５０人
これより、朝食を食べる習慣がある者は１５０ー６１＝８９人

選択肢からゴールを決める

書き込んだ数値をもとに、キャロル表を埋めていきます。

手当り次第に記入するという手もありますが……
先にゴールを見定めて、そこに向かっていく方が合理的。

選択肢に関係のある数値の場所（一〜五）をあらかじめマークします。
ここを埋めるのが本問の最終目的です。

「端＋端＝真ん中」でキャロル表を埋める

まず、図の一番下、横に並んだ数値に注目。
「端＋端＝真ん中」の関係を使うと、右下（四角形の外側）が分かります。
つまり、２２＋？＝３０より、？＝３０ー２２＝８人

すると、 ４つ目の条件朝食を食べる習慣がなく、５科目の平均が５０点未満の者のうち、習い事をしている者は、そうでない者より５人多い。 が使えます。
四角形の内側の右下は、８＋５＝１３人
これより、四角形の右下の頂点は、８＋１３＝２１人

続いて、四角形の右の辺（四右、６１、２１）の並びに注目します。
「端＋端＝真ん中」と使うと、四右＝６１ー２１＝４０人

その通り！
よく気が付きましたね！

気づかせた筆者もスゴイ！

今度は四角形の上の辺（四左、８３、４０）の並びに注目。
同じく「端＋端＝真ん中」を使って、四左＝８３ー４０＝４３人

これより、平均５０点以上の人について、「朝食○＞朝食×」
つまり、選択肢４は正しいことになります。

よって、４が正解です。

ちなみに……
一〜五は全て埋めることができます。（次図）

おわりに：２集合はベン図、３集合はキャロル表

お疲れ様でした！

集合の人数（要素数）の問題は、集合がいくつあるかによって対処法が変わります。
2集合ならベン図、3集合ならキャロル表です。
キャロル表に数値を書き込んだら、芋づる式に分かるところを埋めていきます。
コツは、3つ並んだ数を見つけて「端+端=真ん中」の関係を使うこと。

今回は、3つのアンケート項目の回答を、キャロル表を使って集計する問題でした。
キャロル表は初めは取っつきにくいですが、覚えてしまえば機械的に解くことができます。
さまざまな問題を解いて、使い方に慣れてください。

過去にも似た系統の問題を解説しています。
国家総合職ですが。

最後までお読みいただきありがとうございました。

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