【国家一般職】回転する図形の軌跡をイメージするコツは３つ【正六角形の内部を転がる正三角形と軌跡】

こんにちは！
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公務員試験の数的処理をはじめとした、算数/数学の試験を受ける方は必見！
ぜひ最後まで読んでいってください。

今回のテーマは……「平面図形」

数的処理では毎年のように出題される重要な単元。
今回は、特に「回転する図形の軌跡」を扱います。

このテーマでありがちなのが、

「回転移動や軌跡がイメージできない」

という悩み。
図を書くこともままならず、苦手意識を持ってしまう方も多いでしょう。

筆者もお絵描きは苦手で、図を書いて考える問題には苦戦してました。

しかし、軌跡の問題は美術のテストではありません。
イメージできないのはセンスの問題ではなく、意識すべきポイントを分かっていないからなんです。
要点さえきちんと押さえていれば、軌跡のおおまかな形はイメージできます。

そんな、軌跡の問題を解くために「意識すべきポイント」とは？

今回は、平面図形の「軌跡」を解くためのポイントについて、ていねいに解説します。
後半では、数的処理の過去問に似せた演習問題を解きながら、その使い方を学びます。

講義：回転する図形の軌跡をイメージするコツ

図形の回転移動の軌跡で意識したい３つのポイントを伝授します。

小さなステップに分ける

いきなり全体を捉えようとするのはムズカシイ。
まず小さなステップに分けると、軌跡が単純化されイメージしやすくなります。

回転移動の中に、状況が変化するタイミングがいくつかあります。
そこから次の変化点までの間を１ステップとして、回転移動を細切れにします。
各ステップの軌跡は円弧なので、イメージしやすいはず。

多角形の場合、辺が地面に着いたときが変化点です。

例えば三角形の頂点の軌跡なら、次図のような３ステップに分割できます。
すると、各ブロックは円弧の形で、軌跡はこれがつながったものだな、と理解できます。

回転の中心、半径、回転角を押さえる

回転移動の軌跡をイメージする上で重要な要素が、回転の中心と半径、回転角の３つ。
なぜ重要かというと、この３つこそ、円弧を形作るのに必要な要素だからです。

分割した各ブロックのそれぞれで、「どこを中心に、どの半径がどれくらい回転するのか」を意識します。

繰り返し（対称性）にも注意

図形の回転移動は、何らかの周期性を含んでいる場合が多々あります。
繰り返しの動きは一回分だけを考えれば済むので、ここに気づくと手順を少なくできます。

圧倒的に手数が減ってお得です。

例題：正方形の内側を転がる三角形の頂点の軌跡

軌跡を小さなステップに分割

先に述べた通り、正方形の各辺が地面に着いたときが変化点です。

最初の１周について、地面に接する１辺がBC→CD→DA→AB→BCと変わる４つのステップに分けて考えます。

回転の中心、半径、回転角を確認

各ステップで、回転の中心＆半径＆回転角は下表の通り。

	中心	半径	回転角
BC→CD	C	CA	９０°
CD→DA	D	DA	９０°
DA→AB	A	A（点）	９０°
AB→BC	B	BA	９０°

ピンとこない方のために、例として、BC→CDの回転移動を考えます。

まずは回転の中心。
時計方向に回るので、B側が浮き上がってCが回転の中心となります。

次は半径。
頂点Aが中心Cの周りを回るので、半径はCA。

あとは回転角。
正方形の外角の分だけ回るので、頂点AもCの周りを９０°回転します。

以上より、この区間の軌跡は「半径\(\sqrt{2}\)、中心角９０°の円弧」になると分かります。

イメージしづらい方は、回転の動きをコマ撮りしてみましょう。
中間の状況を２つくらい書き足すと、大分イメージしやすくなります。

４コママンガみたいに。

同じように考えていくと、１回転の軌跡が描けます。

繰り返し（対称性）にも注意

この場合、２回転目は１回転目の繰り返し。
よって、２回転目の軌跡は全く同じ形になります。

結論：回転する図形の軌跡は円弧の集まり

回転する図形上の点の軌跡は、円弧に分割できます。
その円弧を決める要素は、中心と半径と回転角、の３つ。
あとは対称性も考慮すれば、最短で軌跡を描けます。

これが、回転する図形上の点の軌跡をイメージするために意識したい３つのポイントです。

以上、回転する図形の軌跡をイメージする方法の解説でした。

ここからは、過去問をもとに作ったオリジナルの演習問題を解きながら、「解法のポイント」の使い方を学んでいきます。

演習問題：正六角形の内部を転がる正三角形と軌跡

正三角形の辺上にある中点の軌跡の問題。
最短で正解を得るために、注目すべきポイントは？

以下、詳しい解説。
あっさりした解説がお好みの方は、一番下の略解を見てね。

おっと申し遅れました。
解説は筆者、「数的処理の穴場」管理者のモクセイがお送りします。
↑これでも元塾講で国家総合職の筆記合格者

それでは、解説スタート！

問題文を見る

解説：分割して中心＆半径＆回転角。対称性も

「解法のポイント」の３つを意識しつつ進めます。

軌跡を小ステップに分割

全体を眺めて、キリのいいところで区切ります。
簡単のため、とりあえず正六角形の最初の辺上にいる場合に限って考えます。

すると、各辺が地面に着くときで区切ることができます。
このとき、△ABCは接する辺が「BC→CA→AB」と変化する２ステップを経て端に達します。

この後、もう１ステップあります。
それは、正三角形ABCがちょっと回転して辺BCが正六角形の次の辺に接する、というステップ。

以下、これら３ステップの軌跡の長さを考えます。

回転の中心、半径、回転角を押さえる

３ステップについて、回転の中心＆半径＆回転角を押さえて軌跡（＝円弧）をイメージします。

（i）BC→CAの回転の軌跡

中心…頂点C
半径…CP=\(\sqrt{3}\)
回転角…１２０°（＝正三角形の外角）

よって、軌跡は

\[
2\pi × \sqrt{3}×\frac{120}{360}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi
\]

（ii）CA→ABの回転の軌跡

中心…頂点A
半径…AP＝１
回転角…１２０°

よって、軌跡は

\[
2\pi × 1×\frac{120}{360}=\frac{2}{3}\pi
\]

（iii）AB→BC（正六角形の次の辺へ）

中心…頂点B
半径…BP=１
回転角…６０°（＝正六角形の内角ー正三角形の内角）

これより、軌跡は

\[
2\pi × 1×\frac{60}{360}=\frac{\pi}{3}
\]

（i）、（ii）、（iii）より、軌跡は

\[
\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi+\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{3}=(1+\frac{2\sqrt{3}}{3})\pi
\]

繰り返し（対称性）で軌跡の全体が分かる

（iii）で、△ABCは最初と同じ状況に戻っています。

よって、正六角形の辺の数だけ、（i）〜（iii）の軌跡が繰り返し描かれることになります。
つまり、ここまでの軌跡の長さを６倍したものが全体の長さです。

\[
(1+\frac{2\sqrt{3}}{3})\pi×6=2(3+2\sqrt{3})\pi
\]

よって、５が正解です。

おわりに：軌跡は「分割→中心＆半径＆回転角→対称性」

お疲れ様でした！

回転する図形上の点の軌跡をイメージするために、意識することは３つ。

【１】小さく分割
【２】中心＆半径＆回転角
【３】対称性

複雑に思える軌跡も、細切れにすれば円弧です。
その円弧を決める要素は、中心と半径と回転角。
あとは繰り返しに気づけば、最短で軌跡を描けます。

今回は、正三角形の辺の中点が、正六角形の内部を転がってできる軌跡の問題でした。
正三角形の１回転が、ちょうど端から端への移動に相当します。
ここに気づけば、正六角形の各辺で軌跡は同じ形になるだろうと予想できます。

図形の移動はイメージが大切。
向き不向きはありますが、ポイントを押さえれば十分に対処可能です。
回転移動の軌跡には、今回紹介した「解法のポイント」を使ってみてください。

☆もしも「正四面体」だったら

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